Интеграл

[infinity235]

`int dx/(x^2+1)^2=int dx/(x^4+2x^2+1)`
Как лучше дальше решать?

@темы: Интегралы

Comments

[Robot]

webmath.exponenta.ru/s/kiselev2/node12.htm
А использовать интегрирование рац. функций?

[Alidoro]

Здесь можно хитрым образом применить формулу "по частям". Посмотрите ваш пример в задачнике Кудрявцева т 2 с. 13 Пример 17.

[infinity235]

Отлично!
`int dx/(x^2+1)^2=1/2(x/(x^2+1)^2+arctg(x))+C`

Для тех кто будет искать:

[s_tat]

Можно применить подстановку `x=tg (t)`

[mpl]

s_tat


Ставьте пробел между tg и t.

[s_tat]

mpl Спасиб!

[infinity235]

Ещё один способ решения:
`int(dx/(x^2+1)^2)=int(((1+x^2)-x^2)/(x^2+1)^2)dx=int(1/(x^2+1)dx)-int(x*x/(x^2+1)^2)dx`
`int (1/(x^2+1)dx)=arctg(x)`
`int(x*x/(x^2+1)^2)dx=-x/(2(x^2+1))+int(dx/(2(x^2+1))=-x/(2(x^2+1))+1/2arctg(x)`
`U=x; dU=dx; dV=x/(x^2+1)^2dx; V=int((d(x^2+1)*1/2)/(x^2+1)^2)=1/2int(dt/t^2)=-1/(2(x^2+1))`
`int(dx/(x^2+1)^2)=arctg(x)-(-x/(2(x^2+1))+1/2arctg(x))=arctg(x)+x/(2(x^2+1))-1/2arctg(x)=1/2arctg(x)+x/(2(x^2+1))+C`