Параметры

[Bruks]

`TZ`
При каких а система имеет 4 различных решения

`{(sqrt(|y+3|)=1-sqrt(5|x|)),(16a-9-6y=25x^2+y^2):}`
[[/TZ]]
Понятно что относительно х система чётная.
Нашёл что второе уравнение имеет 2 корня при а>0
И всё...

@темы: Задачи с параметром, ЕГЭ

Comments

[Heor]

Bruks
во втором уравнении превратите `y^2 + 6y + 9` в `(y + 3)^2`. А потом просто нарисуйте.

[Гость]

Рисуется эта задача не очень-то хорошо. Но система сводится к такой `{(|u|+|v|=1),(u^4+v^4=16a):}`. А вот в таком виде ее где-то разбирали.

[Heor]

Хм. У меня вырисовалась. Там получаются два случая. Касание и пересечение в крайних точках. Второе - это окружность, а первое, это нечто типа звездочки. Не знаю, есть ли у нее какое-то название.
А класс какой? Исследование функций уже проходили?

[Bruks]

класс 11 но графический способ не очень люблю.
По системе: Cистема чётная, тогда рассмотреть случай v;u>0, когда будет 2 решения
Выразить одну переменную и подставить во второе уравнение.
Но Далее не получается исследовать получившуюся функцию на экстремумы.

[Bruks]

Вот такое уравнение получается: `2v^4-4v^3+6v^2-4v+1-16a=0` оно должно иметь 2 корня, но производная "корявая" получается

[Гость]

Bruks Здесь именно графическое решение. Одно из значений a=1/16, второе - вопрос касания кривой и квадрата ( первое уравнение изображается квадратом)

[Heor]

Если очень хочется именно аналитическое решение, то:
Для положительных u,v имеем
`(u^4 + v^4) = (u^2 + v^2)^2 - 2*(u^2)*(v^2) = ((u + v)^2 - 2*u*v)^2 - 2*(u^2)*(v^2) = (1 - 2*u*v)^2 - 2*(u^2)*(v^2) = 16*a`
`z = u*v`
`(1-2z)^2 - 2*z^2 = 16*a`
`1 - 4z + 2z^2 = 16*a`
`z^2 - 2z + 1 = 8a - 1/2 + 1`
`(z - 1)^2 = 8a + 1/2`

Рассмотреть случаи:
1. Когда z - единственное. z = 1
2. Когда z - не единственное. Но только одно из них положительное.

P.S. Не забывайте, что `a>0`

[Новый гость]

Извините, что вмешиваюсь не в свою тему.
Заинтересовала задача, но всё, что написано про аналитическое решение, мне оказалось непонятно. Поэтому стал смотреть, как решать графически. Однако не совсем понятно, что за окружность получается во втором уравнении:
`25x^2+(y+3)^2=16a`.
При `a<=0` система не имеет решений. При `a>0` второе уравнение описывает окружность с центром в точке `(0;-3)`.
Однако уравнение окружности в общем виде - это `(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2`. Никаких коэффициентов перед первым слагаемым нет. А у нас 25. Это как-то влияет на график? Ведь с ним должно "что-то произойти".
И если уж решать графически, то как можно построить график первого уравнения с двумя корнями и двумя модулями под корнями. Это же как-то нереально...

[Heor]

Новый гость
Будет сплюснутая по бокам окружность или иначе говоря эллипс. Т.е. она сожмется вдоль оси OX.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=ContourPlot[25+x^2+%2B+%28y%2B3%29^2+%3D%3D+16%2C+{x%2C+-5%2C+5}%2C+{y%2C+-8%2C+2}]

[к.черный]

А вот в таком виде ее где-то разбирали.

eek.diary.ru/p94513880.htm

[Новый гость]

Тогда графический способ решения этой задачи отпадает в силу трудоёмкости построения графиков? Эллипсы в школе не учат строить, да и графическую интерпретацию первого уравнения тоже осуществить весьма трудно.

[Гость]

к.черный Спасибо!

[Bruks]

Спасибо всем.

[Heor]

Новый гость
В школе проходят исследование функций. Этого достаточно для построения любого графика.
Тем более, что простая замена переменных приведет эти уравнения к таким, которые легко можно построить.