условный экстремум

[.Lean]

Добрый вечер!
Помогите, пожалуйста, разобраться с условными экстремумами!
Исследовать заданные функции на условный экстремум при данных уравнениях связи:

3

3. `u=xy` при `x^3+y^3-3xy=0`

вопрос: получили две точки, с B1 (1,1) все нормально, пользуемся методом Лагранжа. Что делать с точкой B2 (0,0), которая удовлетворяет ограничению? Просто рассматривать ее отдельно, писать матрицу Гессе и изучать на экстремумы?

6

6. `u=x-2y+z` при `x+y^2-z^2=1`

вопрос: выражается только h1 через h2 и h3, со знаком квадратичной формы ничего не понятно. Что не так?

9

9. `u=xy^2z^3` при `x+2y+3z=6`, где `x,y,z>0`

вопрос: нашлось две точки, в которых ранг матрицы равен нулю. Одна из них удовлетворяет ограничению - с ней мы делаем то же, что и с точкой из номера 3. Другая точка, В2 (0,0,0), с одной стороны, не удовлетворяет ограничению, и я бы стала использовать метод множителей Лагранжа, если бы меня не смущало условие x,y,z>0 и то, что матрица Гессе все равно обнулится. Так что делать с этой точкой В2?

И еще мне надо бы порешать "задания на условные экстремумы с параметром" (как-то так), но я даже понятия не имею, как они выглядят. Не могли бы вы подсказать, где их искать в Демидовиче?

@темы: Задачи на экстремум, Поиск, Математический анализ

Comments

[_ТошА_]

3) да. Но в (0, 0) можно и проще поступить, вспомнив определение максимума-минимума.
6) из уравнения связи ещё повыражать
9) проверить по определению максимума-минимума

[.Lean]

_ТошА_
3), 9) либо я не помню, либо никогда так не делала.
Как проверить, что f(xo) наибольшее/наименьшее в окрестности xo. А если седловая точка?
6) что выражать?

[_ТошА_]

3), 9) В любой окрестности меньше или больше значения в максимуме/минимуме

[_ТошА_]

6) Ооой, вас так научили. Ну тут думать надо

[.Lean]

3), 9) В любой окрестности меньше или больше значения в максимуме/минимуме

неа, еще больше запуталась
на примере точки (1,1) из номера 3: я могу посчитать только значение функции в данной точке = 1. Что мне еще надо?

[_ТошА_]

Ну вот номер 3, скажем.
Точка (0, 0)
] x = 0 + `delta`, а игреком погуляем вот так: y = 0 + `epsilon`
Подставим:
u = (0 + `delta`)(0 + `epsilon`) = `delta*epsilon`

Вот и получается, что если эпсилон положительный, а дельта отрицательная, то значение отрицательное.
То есть отходя от точки в разные стороны на чуть-чуть у нас не выполняется такого, что: f(макс) >= f(U(макс)) или f(min) =< f(U(min))

[.Lean]

ой, да, точка (0,0)
мы и вправду так никогда не решали

если эпсилон положительный, а дельта отрицательная, то значение отрицательное

отходя от точки в разные стороны на чуть-чуть у нас не выполняется такого, что: f(макс) >= f(U(макс)) или f(min) =< f(U(min))

а если бы при всех эпсилон и дельта, какие мы бы ни брали, δ⋅ε получалось бы только отрицательное, то в (0,0) был мы максимум (если наоборот - то минимум)?

[_ТошА_]

В общем-то да.
Скажем, была бы функция `u = x^2 + y^2`
Ну так какие бы х и y не брать, очевидно что больше нуля всегда

[_ТошА_]

Опять же, в точке (0,0). Забыл написать

[.Lean]

тогда в 9:
`x = 0+epsilon`
`y = 0+delta`
`z=0+theta`
`u =(0+epsilon)(0+delta)^2(0+theta)^2 = epsilon*delta^2*theta^2` зависит по-разному от `epsilon`, значит тоже седловая?
так здесь точку (0,0,0) по определению надо было рассматривать, т.к. она не подходит по условию x,y,z>0? получается, вообще в этом номере лагранж не нужен?

[_ТошА_]

.Lean (0, 0, 0) же вообще печальная точка. Она же под условие то не подходит. Так что всё равно какая она

[.Lean]

а, значит если такая формулировка, то вообще эти точки не нужно рассматривать; В (1,1,1) можно проверить по определению, а все остальное по Лагранжу, теперь ясно)
а с 6 как все-таки быть?

[_ТошА_]

.Lean ну так да, лишнего делать не надо, я думаю)

Ох, с 6ым всё грустно. Просто вам рассказали очень неудобный метод, чесс. слово. А сейчас я уже устал, а если вашим способом, то голову поломать придётся

[.Lean]

_ТошА_
ну ладно, может завтра еще успеем у препода выведать, как его решать)
а задания на условные экстремумы с параметром не знаешь где можно найти?

[_ТошА_]

.Lean нет, понятия не имею =)

[.Lean]

_ТошА_
эх, придется самим выкручиваться)
спасибо большое за помощь)

[_ТошА_]

.Lean придумайте сами.
Не за что

[.Lean]

_ТошА_
дело в том что прилежные студенты подобные задачи, кхм, на лекциях решали
у нас в группе таких не нашлось...

[_ТошА_]

.Lean агааа, матанчик косите.. Как не стыдно!

[.Lean]

_ТошА_
стыдно, но спать хочется больше

[_ТошА_]

.Lean ну-ну. Я, как студент, солидарен, но матанализ - это святое. Я не кошу)

[.Lean]

_ТошА_

Я не кошу

ну, заметно)
но мне пока хватало семинаров, успокаиваю себя, что нам, приземленным экономистам, все равно не понять глубинную суть матанализа)