Помогите, пожалуйста, с геометрией.

[monday_morning]

1. Угол параллелограмма равен 60 градусам, разность сторон равна 4 см, а большая диагональ равна 14 см. Найдите меньшую диагональ и площадь параллелограмма.
значит так. сначала я выразилась стороны через х и х+4, потом по теореме косинусов получила квадратное уравнение, но оно получилось громоздкое и, вероятнее всего, неправильное. объясните, как решать, пожалуйста
и вторая задача.
даны точки А (0;0), В (2;1), С (1;-1). Найдите скалярное произведение векторов АС(ВС - АВ). Докажите, что треугольник АВС - остроугольный.
я знаю, как доказать, что он остроугольный ( по произведению векторов), но не знаю, как найти их длины, если даны координаты. просьба не ссылать меня на учебники, т.к. там очень долго искать и непонятно написано. лучше мне так объясните)
заранее спасибо)

@темы: Векторная алгебра

Comments

[_ТошА_]

1) Начали вы верно. Может угол не тот взяли? Большая диагональ лежит против тупого угла
2) ну пусть У вас есть точка A(x, y) и B(z, t). Длина вектора `|AB| = sqrt((z - x)^2 + (t - y)^2)`
Вообще длина вектора вычисляется так: `|vec(a)| = sqrt((a_x)^2 + (a_y)^2)`

[monday_morning]

1. нет, взяла все верно..
2. ну, у меня получилось, что длина вектора АВ = корень из 5, АС -корень из 2, ВС - корень из 3. только как мне посчитать произведение?

[_ТошА_]

1) напишите, что у вас вышло.
2) не. Вы сначала найдите вектор BC - AB = b
И тогда вам надо найти скалярное произведение векторов (AC, b)

[monday_morning]

1. пусть х см длина стороны АВ, тогда х+4 см длина стороны ВС
АС^2 = AB^2 + BC^2 - 2*AB*BC*COS B
14^2 = (x+4)^2 +x^2 - 2*(x+4)*x*COS 120
196 = x^2 + 8x + 16 + x^2 - (2x^2 +8x) *( -1/2)
196 = 2x^2 + 8x + 16 +x^2 - 4x
3x^2 + 4x + 16 - 196 = 0
3x^2 +4x - 180 = 0
D = b^2 - 4ac = 16 - 4*3*(-180) = 16 - 12*(-180)= 2176
из этого числа корень не извлекается.. а мне кажется, что должен
иначе в самой задаче просто невероятные числа получатся =(
2. не. Вы сначала найдите вектор BC - AB = b
И тогда вам надо найти скалярное произведение векторов (AC, b)

не поняла, что вы хотите сказать.. можете написать на конкретно моих векторах? или еще раз объяснить =)

[_ТошА_]

1) Всё правильно. Ничего не поделаешь
2) Найдите сначала вектор, который равен BC - AB

[monday_morning]

1.сейчас попробую с таким числом решить ее, но, думаю, вряд ли что-то выйдет из этого
2. ну у меня и получается, что этот вектор равен корень из 3 - корень из 5. или я опять неправильно ? =(

[_ТошА_]

Я вас прошу найти вектор, а не длину.
`A(a_x, a_y, a_z)`
`B(b_x, b_y, b_z)`

Чему равен вектор `AB`?

[monday_morning]

понимаете, я не студент, я ученик =)
ну как это чему равен вектор АВ? у меня напрашивается ответ: вектор АВ равен вектору АВ
ну он равен либо разности векторов СВ и СА, либо сумме АС + СВ

[_ТошА_]

у меня напрашивается ответ: вектор АВ равен вектору АВ

плохо, коли так

Вектор по двум точкам учат строить в школе.
Если есть точки
`A(a_x,a_y,a_z)`
`B(b_x,b_y,b_z)`
То вектор `AB = (b_x - a_x, b_y - a_y, b_z - a_z)`

Векторы можно вычитать и складывать. Пусть есть вектор `a = (a_x, a_y, a_z)` и вектор `b = (b_x, b_y, b_z)`, тогда сумма
`a + b = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)`
и разность
`a - b = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z)`
Вот это понятно?

[monday_morning]

понятно. слушайте, если вам не очень трудно, напишите, пожалуйста, как мне найти произведение, я думаю, у вас это немного времени займет =)
я себя дебилом чувствую на вашем фоне =D
хотя это не так

[monday_morning]

кстати, в первой задаче в уравнении ошибка. я решила его)

[_ТошА_]

В первой ошибки не вижу

[_ТошА_]

По определению скалярное произведение векторов:
`(a, b) = |a||b|cos(AB)`

Однако угол между векторами известен не всегда, но ихъ можно перемножать покомпонентно.
Вектора:
`a = (a_x, a_y, a_z) = i*a_x + j*a_y + k*a_z`
`b = (b_x, b_y, b_z) = i*b_x + j*b_y + k*b_z`
где i, j, k - базис (векторы (1,0,0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))
Тогда в силу линейности ск. произв:
`(a, b) = (i*a_x + j*a_y + k*a_z, i*b_x + j*b_y + k*b_z) = a_x*b_x(i, i) + a_x*b_y(i, j) + z_x*b_z(i, k) + ...`
`(i, i) = 1, (i, j) = 0, (i, k) = 0`
Отсюда, расписав полностью получим:
`(a, b) = a_x*b_x + a_y*b_y + a_z*b_z`

[monday_morning]

АС^2 = AB^2 + BC^2 - 2*AB*BC*COS B
14^2 = (x+4)^2 +x^2 - 2*(x+4)*x*COS 120
196 = x^2 + 8x + 16 + x^2 - (2x^2 +8x) *( -1/2)
196 = 2x^2 + 8x + 16 +x^2 - 4x тут должно быть +4х
тогда дальше все выходит)))
вы меня не поняли)) мы просто не проходили, где у вектора 3 координаты и базис векторы тем более))))
вы можете мне мое произведение решить? ну, подставив значения?

[_ТошА_]

А, я тоже не заметил, что обсчитались.

ну тогда выкиньте третью, и будете работать с двумя.
`(a_x +a_y, b_x + b_y) = a_x*b_x + a_y*b_y`
Вот и всё.

А за вас не могу решить, меня побьют за нарушение правил

[monday_morning]

простите, не знала правила)))
хорошо. сейчас попробую. ну, если я сюда буду писать свои размышления, то вы ведь можете мне отвечать или подсказывать, да?

[_ТошА_]

да

[monday_morning]

чувствую, помучаю я вас сегодня)) просто не дается мне эта геометрия никак, гуманитарный склад ума) вот с русским никаких проблем) так. ушла думать

[monday_morning]

АВ равен ( 2;1)?

[_ТошА_]

да

[monday_morning]

ВС равен (-1;-2)

[monday_morning]

наконец-то))) ну вот. я нашла. а что мне делать дальше?

[_ТошА_]

Теперь считайте BC - AB

[monday_morning]

(-3;-3)

[monday_morning]

в ответах написано, что произведение равно 0.

[monday_morning]

спасибо за помощь, я уже все сделала, но не так, как вы говорили)))

[_ТошА_]

да, 0 получается