Помогите пожалуйста с решением системы (МФТИ 2006)

[NYB58]

`TZ`
Решить систему (МФТИ 2006)
`{((x^2(1-2y))/y^2=4x+2y),(2x^2+xy=x+y^2):}`
[[/TZ]]

@темы: Задачи вступительных экзаменов, Системы НЕлинейных уравнений

Comments

[NYB58]

может такой пример уже тут встречался

NYB58,
спрячьте рисунок под тег MORE.
Система в формате скрипта пишется так:
`{((x^2(1-2y))/y^2=4x+2y),(2x^2+xy=x+y^2):}`
И каковы Ваши попытки?

[NYB58]

пробывал преобразоать первое уравнение, но ни к чему хорошему это не привело, получил 3 степень... Тут какой-то определеный ход решения ( только вопрос какой?)

[NYB58]

Если второе относительно Х решаю, но у меня корень из дискриминанта иррациональный, поэтому если выразить Х через y, а потом подставить в первое уравнение, то даже страшно представить, что там получится

[VEk]

Эта задача из 3-го билета. У них в книге разобрана аналогичная задача из 1-го билета (книга есть на полках сообщества). Посмотрите.

[NYB58]

не могу найти эту полу сообщества... скиньте пожалуйста ссылку

[VEk]

eek.diary.ru/p120126002.htm (в конце заглавного сообщения ссылки на издания МФТИ)

[NYB58]

застрял на месте разложения на множетели получил x^2-4xy+6y(x-y)(x+y)

[VEk]

Можно преобразовать данную систему к виду: `{(x^2=2y(x+y)^2),((2x-y)(x+y)=x):}`. Попробуйте.

[Гость]

ну никак не могу разложить на множетели...

[NYB58]

каким образом

Можно преобразовать данную систему к виду: `{(x^2=2y(x+y)^2),((2x-y)(x+y)=x):}`. Попробуйте.

???

[VEk]

Первое уравнение домножьте на `y^2` и раскройте скобки. Второе уравнение - перемножьте скобки и сравните с исходным уравнением.

[NYB58]

Первое уравение умножил на y^2 получил x^2-2x^2y=4xy^2+2y^3
а что делать с вторым уравнением?

перемножьте скобки

там и скобок то нет...

[VEk]

Скобки есть в преобразованном виде. Первое уравнение еще надо немного преобразовать - сгруппировать члены.

[NYB58]

преобразовал. Получил x^2-2y(x+y)^2=0... Что делать с вторым уравнением?

[VEk]

Для Вас написано преобразованное выражение. Раскройте там скобки и убедитесь, что оно равносильно исходному.

PS. Извините за нескромный вопрос, а зачем Вам задачи для подготовки в Физтех? Физтех подразумевает, что школьник имеет соответствующий уровень подготовки.

[NYB58]

это просто внеурочные задания такие нам задают((((
и то что оно равносильно исходному я убедился

[VEk]

Что это за школа такая, что такие задачи детям задают (и мучают их)?
А теперь попытайтесь из полученных уравнений найти какое- либо новое соотношение и свяжите его с одним из исходных уравнений.

[NYB58]

и тут я в тупике

[VEk]

А что это за школа такая?

[NYB58]

гимназия с мат профилем

[NYB58]

все большое спасибо... все прояснилось)))

[VEk]

Перепишите второе из полученных уравнений так, чтобы слева было x, а справа все остальное и поделите их почленно друг на друга . Получается очень приятное соотношение ( конечно, там еще будет обоснование возможности деления, но это "награда" за возможность поделить).

[NYB58]

x=(2x-y)(x+y) ... Каким образом их можно поделить друг на друга?

[VEk]

Делить надо уравнения, написанные 02.03 в 11:46, только второе уравнение перепишите в виде `x=...`.

[NYB58]

получил x=2y(x+y)/(2x-y)

[VEk]

Найдите из него связь `y` и `x`. Странно, что приходится ученику школы с мат.уклоном такое объяснять.

[NYB58]

но увы в моей голове никакого мат уклона наверное нет, и такое бывает...

[Гость]

ну, этот сайт для этого и существует)))

[VEk]

Связь нашли? Получается два соотношения. Берем их по одному и рассматриваем в системе с одним из исходных уравнений.
Кроме того надо проверить, не потеряли ли чего-нибудь при делении одного уравнения на другое (плата за возможность поделить).