В натуральных числах

[FirstAID]

Пратусевич С6 ЕГЭ
Помогите решить уравнения в натуральных числах
1 )`TZ` Решить в натуральных числах ` 1/x+1/y=1/239 ` [[/TZ]] даже не знаю с чего начать
2) `TZ` Решить в натуральных числах ` 2^x+3^x+4^x=y^2 ` [[/TZ]]
` x ` - чётное ` x=2k `
` 4^k+4^(2k)=(y-3^k)(y+3^k) `
`4^k(1+4^k)=(y-3^k)(y+3^k) => (y-3^k)(y+3^k) ` делится нацело на 4 , и на 9 или на 5( т.к ` (1+4^k) ` делится нацело на 9 или на 5)
Дальше не знаю как решать

@темы: ЕГЭ, Теория чисел

Comments

[VEk]

1. Уравнение `1/x+1/y=1/a`. Оно приводится к виду `(x-a)(y-a)=a^2`. Далее рассматриваются случаи.

[Гость]

пРимер 1.9 на стр. 9 - общий метод решения задания 1

[FirstAID]

VEk Решил
Тут х или у не могут равняться 239 , а в ответе `(239;239*240) ( 478;478) (239*240;239) `
а у меня получилось `(240 ;239*240) ( 478;478) (239*240;240) `

[VEk]

№2. Решение очевидно: (1;3). Пусть `x > 1`. Рассмотрите остатки от деления левой части уравнения от деления на 3, получите, что x - нечетно. Рассмотрите остатки той же левой части от деления на 8, получите, что x - четно и больше 2. Противоречие.

[FirstAID]

VEk Наверное вы имели ввиду решение (1;3)

[VEk]

minasyanvaagn У Вас правильно получилось (№1).

[VEk]

Конечно! Опечатка. Исправлю.

[FirstAID]

VEk а как Вы узнали , что нужно рассмотреть остатки от деления на 8 ?

[VEk]

minasyanvaagn Квадрат нечетного числа сравним с 1 по модулю 8ю ( Из серии - "Это полезно знать")

[FirstAID]

Я что-то не понимаю . Как узнать остаток от деления на 8 левой части ? И даже если мы это узнаем , то почему х - чётное ?

[VEk]

`2^x`начиная с `x=3` дает остаток 0, `4^x` начиная с `x=2` дает остаток 0, `3^x` дает остаток 1 или 3 (1 при четных x). Поэтому начиная с x=3 при всех четных `x` остаток левой части уравнения от деления на 8 будет равен 1, а при нечетных `x` - равен 3. Так как (очевидно) y - нечетно, то остаток правой части уравнения от деления на 8 всегда равен 1.

[FirstAID]

VEk Спасибо

[FirstAID]

А почему ` y ` нечётно ?

[FirstAID]

Понял почему . y^2 может давать остатки при делении на 8 : 0 1 4 . А левая часть 1 0 3 => подходит общий остаток 1 => левая и правая часть не четны . Так ?

[FirstAID]

Но тогда при делении на 3 и на 8 нет противоречия .

[VEk]

О четности `y`. Левая часть уравнения - сумма двух четных и одного нечетного числа, т.е. нечетна. Значит и правая часть также нечетна.
остатки от деления на 8 мы с Вами разобрали. получили, что x=четно.
Теперь остатки от деления на 3 ( `x >= 1`). `3^x` делится на 3. Выпишите рядом два столбика - степени двойки и четверки и посчитайте остаток их суммы при делении на 3, получится `0` при нечетном `x`, и `2` при четном `x`. В правой части уравнения стоит `y^2`, поэтому остаток от деления правой части на 3 будет либо 0, либо 1 (это надо доказать). очевидно, что остатки совпадают тогда и только тогда, когда он равны 0. Вывод - `x` нечетно.

[FirstAID]

А что там за TZ появилось ? Может это команда ?

`TZ`

[Robot]

Не обращайте внимания, это служебное

[FirstAID]

ок )