[vansso]

Проверьте пожалуйста задачку
Уровень институт 2ой семестр, срок выполнения - чем быстрее тем лучше (не более того).

Y=(x^2+1)/(x^2-1)

1) найти область определения функции;
2) найти (если возможно) точки пересечения графика с осями координат;
3) выяснить является ли функция четной, нечетной или общего вида;
4) исследовать функцию на непрерывность;
5) найти асимптоты графика функции;
6) найти экстремумы, интервалы монотонности функции;
7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции;
8 ) на основании проведенного исследования построить график функции.

1) Область определения
Функция не определена в точке +/- 1 (-1 и 1)

2) Найти точки пересечения графика фунуции с осями координат
С осью Ох: y=0 => 0=(x^2+1)/(x^2-1) => x=+/- 1
Т.к +/- 1 не входит в область определения, то график не пересекает ось Х .
С осью Оy: x=0 => y=(0^2+1)/(0^2-1) => y=-1
Получили точку А (0;-1)

3) Функция четная вида т.к.
F(-x)= ((-x)^2+1)/((-x)^2-1) “знак не равно” –f(x) ; “=” f(x)

4) Здесь не понятно что от меня требуется :\
?

5) Асимптоты
А) Имеет вертикальную асимптоту х= +/- 1
Тут я нахожу лимит х-> +/- 1 и это будет равно бесконечности

Б) не имеет вертикальную асимптоту
?? А или Б, какой правильный вариант?
Уравнение наклонной асимптоты, будет искать в виде y=kx+b

Тк k=0, наклонной асимптоты нет
Y =0 - уравнение горизонтальной асимптоты
? ??

6) Экстремы
Y(производная)=-4х/(x^2-1)^2
-4х/(x^2-1)^2=0 (приравниваем к 0)
Х1=0
Х2,3 =+/- 1 (не входит в область определения)

Таким образом функция возрастает при х ”принадлежит” (-«бесконечность»;0) и убывает при х ”принадлежит” (0; +«бесконечность»)
F(0)=-1

7) Выпуклость, вогнутость
Y”=

Полученное приравниваем к 0
Знаменатель часть «удаляем», получается:
-4(X^2-1)+8x=0
…
4x^2-8x-4=0
Д=0
Х=1

F(1)=(-4*(1^2-1)+8*1 )/(1^2-1)^3=0 - подставил в y”

8 ) Как график будет я себе представляю (пробил по «онлине построении графиков»)
Но как мне типа правильно построить? Известно всего одна точка А (0;-1)

@темы: Исследование функций

Comments

[VEk]

4. Функция непрерывна всюду на области определения, как дробно -рациональная функция (например, такая фраза).
5. Асимптоты. В точках `+-1` надо находить односторонние пределы ( получится бесконечность со знаком). При нахождении горизонтальной асимптоты ошибка в коэффициенте `b`. Зачем там вычитается `x`? Он должен умножаться на `a`, а `a=0`.
6. При рисунке оси после нахождения производной на нее наносятся не только нули, но и точки в которых производная не существует. Поэтому должно быть 4 промежутка. Аналогичное замечание к исследованию выпуклости ( вогнутости) графика.
8. Во-первых, можно взять какую- либо еще точку (например x=2). Во-вторых, когда участки монотонности будут найдены верно, то всегда можно провести кривую так, чтобы она стремилась к асимптоте ( например от точки (0;-1) к асимптоте `x=1`.

[vansso]

5) Имеет вертикальную асимптоту х=+/- 1 тк
i14.fastpic.ru/big/2011/0222/47/65bddfd853ed131...

[VEk]

Нет. В каждой из точек `+-1` односторонние пределы различны по знаку (хотя оба бесконечны).

[vansso]

Сдесь дальше исправил, пункт Б я полностью выкидываю(добавлял т.к. была небольшая паранойя )
5) Имеет вертикальную асимптоту х=+/- 1 тк

Уравнение наклонной асимптоты, будет искать в виде y=kx+b
k=0
b=1 (да действительно здесь нет Х, просто раньше у меня было ошибочное решение k=1, его и исправил а здесь забыл :/)
тк k=0, наклонной асимптоты нет
y=1 - уравнение горизонтальной асимптоты

6)
х1=0
х2,3=+/-1

Следовательно х1=0 - точка мах
y(max)=y(0)= -1
Таким образом функция возрастает при х ”принадлежит” (-«бесконечность»;0) и убывает при х ”принадлежит” (0; +«бесконечность»)

7)
Здесь у меня была ошибка, не правильно 2ю производную порешал (красным овалом выделил, что упустил в предыдущий раз)

Следовательно на интервале (-1;1) график выпуклый, а на интервалах (-"бесконечность"; -1) и (1;+"бесконечность") график вогнутый

8 )
Добавляю точки В и С
точка В f(0,5)=-1,66
точка С f(-0,5)=-1,66
И строю график на основании исследования ...

[vansso]

Блин че за 3 пост, "facеpalm" какойто

[VEk]

5. Односторонние пределы в точках `+-1` Вы так и не нашли.. Горизонатльная асимптота теперь найдена правильно.
6. Функция имеет разрыв в точке -1. Поэтому надо писать: функция возрастает на `(-oo;-1)` и на `(-1;0]`
7. Вторую производную не проверял, но характер производной на рисунке правильный
8. Возьмите еще точки на промежутках `(-oo;-1)` и на `(1;+oo)`.