С6. Уравнение в натуральных числах с факториалом

[Новый гость]

Здравствуйте ещё раз.
`TZ`
Найти все такие пары натуральных чисел `m` и `n`, чтобы было выполнено равенство `m! +9m-4=n^3+2n^2`.
[[/TZ]]
Задача похожа на С6 из 1-го варианта "Самого полного...".
Решал так:
По аналогии с решением той задачи стал рассматривать два случая:
1) `n<3`
Т.к. `n in NN`, то возможно два случая:
1.1. `n=1`:
`m! +9m-4=3`,
`m! +9m=7`,
Но `m in NN`, поэтому `m! +9m>=10`. При `n=1` верное равенство невозможно.
1.2. `n=2`:
`m! +9m=20`
Проведём перебор:
`m=1` `=>` `10=20` - неверно.
`m=2` `=>` `20=20` - верно.
При `m >= 3` `m! +9m>=33`, поэтому равенство не будет верным при `m >= 3`.
2) `n>=3`, тогда левая часть при делении на 3 даёт остаток -1 (наверное, это то же, самое, что и 2, верно?).
2.1. Пусть n=3k+1, тогда правая часть уравнения принимает вид:
`(3k+1)^3+2*(3k+1)^2=(3k+1)^2 *(3k+1+2)=3(3k+1)^2 *(k+1)` - даёт остаток 0 при делении на 3.
2.2. Пусть n=3k+2, тогда правая часть уравнения принимает вид:
`(3k+2)^3+2*(3k+2)^2=(3k+2)^2 *(3k+2+2)=(9k^2+12k+4)*(3k+4)=27k^3+36k^2+12k+36k^2+48k+16` - даёт остаток 1 при делении на 3.
2.3. Пусть n=3k, тогда правая часть уравнения принимает вид:
`(3k)^3+2*(3k)^2` - даёт остаток 0 при делении на 3.
Следовательно, случай, когда `n>=3`, не подходит.
Ответ: `m=n=2`.
Но мне почему-то кажется, что решение не совсем обосновано, что нужно было в качестве граничного случая `n` брать не 3, а 9. Правильно ли всё объяснено и т.д.? К чему могут придраться эксперты?

Заранее спасибо.

@темы: ЕГЭ, Теория чисел

Comments

[_ТошА_]

Остаток отрицательный - это не очень хорошо. Обычно его определяют неотрицательным числом.

[Новый гость]

Ну, мне и показалось, что лучше записать 2. А нужно ли доказывать, что это одно и то же?

[_ТошА_]

не нужно

[Новый гость]

А в целом решение верное, всё обосновано правильно, граничный случай 3 выбран верно? За что могут снять баллы?
Как вообще выбирать граничный случай в таких уравнениях? Ведь можно было взять и 4, и 5 и т.д.

[_ТошА_]

В таких уравнениях нет общего рецепта. Всё зависит от человека: догадался-нет, заметил-нет итд итп.
А в целом всё верно

[Новый гость]

Всё зависит от человека: догадался-нет, заметил-нет итд итп.

Тогда всё очень плохо. Я понял, что нужно брать именно 3 только после того, как посмотрел, какой ответ...

[_ТошА_]

Новый гость бывает

[маша77]

помогите пожалуйста мне нужно исследовать фунцкию y=ln(x/(x-1))
1)ООФ
2)ОДЗ
3)определить точки пересечения с осями координат
а) с осью оХ
б) с осью ОУ
4) точки разрыва ф-ии и их тип (1 и 2рода)
5) асимптоты
7)определить промежутки монотонности

[Новый гость]

маша77 А как это всё относится к уравнению с факториалом?
Создайте новую тему: под Эйнштейном ссылка "Написать в сообщество".

[Новый гость]

У меня решение всё-таки неправильно построено.

[_ТошА_]

неужели

[Гость]

Объясните, пожалуйста, почему мы за границу берем именно 3?