[KazantsevaAnna]

здравствуйте, не получается вычислить предел..
`TZ`Вычислить предел
`lim_{ x->0),(y->0):} ( 2x)/(x+y)`[[/TZ]]

пробовала делать замену разными способами, даже вводила углы...не могу и все.с чего начать?

@темы: Пределы, Функции нескольких переменных

Comments

[Диана Шипилова]

Первый раз вижу такой предел, поэтому могу ляпнуть что-то не то. Но разве мы можем понять по условию, одинаково ли быстро стремятся икс и игрек к нулю?

[KazantsevaAnna]

ну вот такое условие...

[Диана Шипилова]

Ну я бы в любом случае разделила числитель и знаменатель на x. Вопрос в том, к чему стремится y/x...

[KazantsevaAnna]

получается тоже к 0

[Alisa_Selezneva]

KazantsevaAnna , подберите две частичные последовательности точек `M_k`, `N_k`, сходящихся к точке `O(0;0)`, так чтобы `f(M_k)=const_1` и `f(N_k)=const_2` для любого `k in N`, но при этом `const_1 != const_2`.

[KazantsevaAnna]

не поняла

[Alisa_Selezneva]

Рассмотрим, например, последовательность точек `M_k(1/k; 2/k)`. `lim_{k->+oo}(x_k)=lim_{k->+oo}1/k=0`, `lim_{k->+oo}(y_k)=lim_{k->+oo}2/k=0`. Следовательно, последовательность точек `M_k(1/k; 2/k)` сходится к точке `O(0;0)`. Для функции `f(x;y)=(2x)/(x+y)` для любого `k in N` имеем `f(M_k)=f(x_k;y_k)=(2x_k)/(x_k+y_k)=(2/k)/(3/k)=2/3`. Рассмотрите теперь аналогичную последовательность точек `N_k`.

[trollenok]

Alisa_Selezneva, чего-то я не понимаю. Ну пусть `N_k(1/k, 3/k)`, k снова стремится к оо. Тогда `f(N_k)=f(x_k;y_k)=(2x_k)/(x_k+y_k)=(2/k)/(4/k)=2/4`, и что? Это все равно дает только, что предел зависит от того, каким образом стремятся к нулю x и y.

[Alisa_Selezneva]

Пусть функция `f(x;y)` определена на множестве `D` и существует предел `L=lim_{x->a, y->b}f(x;y)`. Тогда для любой последовательности точек `M_k in D`, сходящейся к точке `C(a;b)` соответствующая последовательность значений функции `{f(M_k)}` должна сходится к числу `L`.

[MathGuard]

Данный предел не существует. Дело в том, что при подходе к точке (0;0) по любому направлению предел должен быть одинаковым (это следует из определения предела). Пусть y=0. Тогда при x->0 (т.е. при стремлении к началу координат по оси Ox) получим , что предел равен 2. Если же x=0, а y->0, то предел равен 0. В общем виде,если необходимо вычислить предел функции двух переменных, следует перейти в полярную систему координат. Здесь тоже получим 2x/(x+y)=2r*cosFi/(r*cosFi+r*sinFi) и после деления на cosFi видно, что предел зависит от угла Fi, т.е. не существует.