Параметр

[Afu-Ra]

Здравствуйте, не могу разобраться с задачей, есть решение, но не могу понять почему так делают, объясните если не трудно
`TZ`
Найти все такие `a`, что при любом `b` уравнение

`ax+b=|x|`
имеет решение.
[[/TZ]]

Решение

Это задача из книги. Не могу понять, где начинается с a). Я недавно только начал изучать параметры, плохо их понимаю

@темы: Задачи с параметром

Comments

[Heor]

Я не понял в чем вопрос. Конкретизируйте, пожалуйста.
Смотрите, у Вас есть две прямые прямая y = x и y = a*x + b.
1. При каких a они будут параллельны.
2. Что будет при иных a?

Пересечение графиков говорит о том, что решение есть. Каждая точка пересечения - это одно решение уравнения.

[Afu-Ra]

Почему в решении `|a|<=1` и как они определяют, что графики не пересекаются?
тоже и в б), как они так определяют, я понять не могу

[Afu-Ra]

`y=|x|` и `y=ax+b` Будут параллельны при `a=1` и `b=0` ?

[Heor]

Afu-Ra
График y=|x| - это два луча
При `x>0` у Вас полупрямая `y = x`
При `x<0` у Вас полупрямая `y = -x`

Так что, при a = -1 Вы получите прямую параллельную левой части графика.
Давайте пока рассмотрим две ситуации. Попытайтесь их построить на разных графиках.
Первая: `a>1`, `b>0`
Вторая: `0<a<1`, `b<0`

[Afu-Ra]

Я построил эти два графика, почему ответ `|a|>1` а не `|a|>=1` ?
Почему еще `a>0` и вот если я только начал решать задачу как я должен понять, что надо рассматривать `a>1` `a<=1 `, как бы относительно `1`

[Heor]

Afu-Ra
Постройте график для |a| = 1 и b<0 и увидите ответ.

Потому что я решил рассмотреть такой случай. Я же не ответ Вам писал, а просто предложение построить два конкретных случая.

[Afu-Ra]

Ну да я построил видно, что графики не пересеваются. Почему `|a|` Берется, а не просто `a`
И вот относительно `1` рассматривается в решении из книжки, которое я выложил. Как бы как я должен догадаться, что надо рассматривать относительно 1 я это понять не могу

[Heor]

Afu-Ra
Потому что симметричен график `y = |x|` относительно оси OY и прямые `y = ax + b` и `y = -a*x + b` тоже симметричны относительно ОY.
Собственно, Вы можете рассмотреть пересечение прямой `y = a*x + b` с графиком `y = |x|`.
Вы получите симметричный результат: `a< - 1`
Что бы не писать два неравенства, их свернули в одно эквивалентное.

[Afu-Ra]

если выразить `x` из `ax+b=|x|` , то будет

`x=-b/(a-1)` и `x=-b/(1-a)` `a!=1` , и поэтому можно рассматривать относительно `1`

Последние Ваши 3 строчки я не очень понял, не могли бы Вы расписать подробнее

[Heor]

Хорошо. Давайте начнем сначала.
1. Если |a|=1, то прямая y = a*x + b параллельна либо левой, либо правой части графика `y = |x|`. Соответственно, легко показать, что пересечения возможны не для всех b. Сделайте это самостоятельно.
2. Если `b >= 0`, то легко показать, что пересечения будут при любом значении a.
3. Если `b < 0`, то решения будут если `a>1` и если `a<-1`

Объедините все эти пункты и получите ответ.

[Afu-Ra]

Откуда `a<-1` скажите пожалуйста, я туплю.

И чтобы решить задачу я должен так много графиков строить и смотреть что получится?

[Afu-Ra]

Heor

Спасибо за помощь!

[Heor]

И чтобы решить задачу я должен так много графиков строить и смотреть что получится?

Это видно сразу. Просто, Вы пока еще плохо знаете, видимо, как ведет себя прямая при увеличении/уменьшении каждого из коэффициентов.
Поэтому Вам и приходиться строить так много. Это пройдет с практикой.

Откуда a<-1 скажите пожалуйста, я туплю.

При a<-1 прямая будет пересекать левую часть графика y = |x| если b<0.
При a>1 прямая будет пересекать правую часть графика y = |x| если b<0.
Вы легко можете в этом убедиться.
Как и в том, что при |a|<1 пересечений при b<0 не будет.

Спасибо за помощь!

Пожалуйста. Надеюсь, что Вы разобрались.

[jagger777]

Можно было бы параметрически. Записать `b=|x|-ax` Записать 2 системки соответственно при `x<0 ; b=-(1+a)x` и при `x>=0 ; b=(1-a)x` Заметим, что график пройдёт через начало координат. Обеспечить условие, при котором график не будет находиться в одной полуплоскости относительно оси ОХ, т.е. чтобы угловые коэффициенты прямых были одного знака. Следовательно, всегда будет пересечение графика функции с прямой ` y=b`. Далее очевидно...

[Afu-Ra]

т.е. чтобы угловые коэффициенты прямых были одного знака. Следовательно, всегда будет пересечение графика функции с прямой `y=b`. Далее очевидно...

С этого момента я не очень понял, не могли бы вы по подробнее объяснить

[jagger777]

Рассмотрите 2 случая. Всё можно записать так: ` -(1+a)(1-a)>0`

[Afu-Ra]

Решения `a>1` и `a<-1` будут при любом `b`?

Честно говоря я не очень понял как вот это получилось `-(1-a)(1+a)>0` и вот эти два графика, я пока что бот в параметрах.

[jagger777]

Разумеется. Попробуйте рассмотреть противоположный случай, например при а=0 . При всех ли b тогда будет решение?

[jagger777]

Пересекайте график функции прямыми, параллельными оси Ох , т.е. `y=b`и смотрите, есть ли точки пересечения. По условию задачи необходимо, чтобы при любой прямой `y=b` была точка пересечения. Вот и смотрите, анализируйте.

[jagger777]

Если не получается, ищите литературу, тем более её предостаточно здесь или делайте так, как вам объяснил Heor, тем более он вам всё доступно объяснил.

[Afu-Ra]

Если `a=0` , то решения будут только при `b>0` вроде

[jagger777]

Правильно! Видите, что нет графика ниже оси Ох ? А нужно, чтобы график был от `(-oo ; +oo)`

[Afu-Ra]

Вот как бы если `b>0` , то например графики `y=-2x+2` , `y=2x+2` будут пересекать график `y=|x|` ,
как бы без разницы будет `-2x` или `2x` , главное чтобы `b>0` было? Я правильно понимаю?

[jagger777]

Свяжите этот факт с угловыми коэффициентами прямых или с углами наклона этих прямых с положительным направлением оси Ох

[Afu-Ra]

Щас надо рассматривать при разных значениях `a` или как?
Что нам дает `b>0`?

[Afu-Ra]

Надо же чтобы при любых `b` было

[jagger777]

`a=0 ` не подходит. Поняли? Я вам картинку послал - там при любых b. Ещё раз - как вам объяснил Heor При a<-1 прямая будет пересекать левую часть графика y = |x| если b<0.
При a>1 прямая будет пересекать правую часть графика y = |x| если b<0. А параметрическим методом- я уже вам объяснил. Всё. У меня нет времени. До свидания!

[Afu-Ra]

jagger777
Спасибо за помощь!

[jagger777]

Afu-Ra
Соединение пропадало,... Так как вам не знаком параметрический метод, то всё же вам лучше решать как объясняет Heor, у него 3 пункта - так объедините же их. Всего наилучшего!

[Afu-Ra]

Спасибо, я вроде понял