Мажорирующий ряд

[Arridan]

`sum_(n=0)^(oo) [sqrt(x+1)*cos(nx)]/[root3(n^5 + 1)] x in [0, 2]`


Тут нужно Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке.

Не умею я мажорирующие ряды подбирать, поэтому хорошо бы что бы показали как его тут наити. И обьяснить как можно исследовать на промежутке сходимость, потом что не делал еще так.

@темы: Ряды

Comments

[Heor]

1. Дайте определение мажорирующего ряда.

[Arridan]

Ну, это числовой, положительный и сходящийся ряд, в котором для любых n и сразу для всех x из заданого промежутка все члены заданого ряда меньше по модулю, чем члены мажорирующего ряда. А если больший ряд сходится, то сходится и меньший.

Я просто не уею подбирать мажорирующий...не понимаю как его выбрать, точнее далеко не всегда. Ну в моем случае, косинус убрать вроде можно так как у него область определения от 1 до -1...

[Heor]

Arridan
Давайте будем учиться.
Смотрим, что у нас есть с x и пытаемся узнать, как это что-то будет меняться.
Итак, получаем, что нам надо дать следующие числовые оценки.
Для `x in [0, 2]`
`|sqrt(x+1)| <= ?`
`|cos(nx)| <= ?`

Можете это сделать?

[Heor]

Я просто не уею подбирать мажорирующий...не понимаю как его выбрать, точнее далеко не всегда. Ну в моем случае, косинус убрать вроде можно так как у него область определения от 1 до -1...

Верно. Вполне можно.
А вторая функция монотонна на этом отрезке. Так что ее тоже можно ограничить числом.
Впрочем, даже если бы не была монотонной, то все равно никто не мешал бы Вам найти ее максимум на данном отрезке и ограничить им.

[Arridan]

Нууу..
`|sqrt(x+1)| <= от 1 до sqrt (3)
`|cos(nx)| <= от 1 до -1

Так?

[Arridan]

то есть мажорирующий ряд будет `sum_(n=0)^(oo) sqrt(3)/[root3(n^5 + 1)]` ??

[Heor]

Arridan
Нет. Не так.
1. Модуль - это всегда положительное число. Он не способен меняться до -1.
2. Вы написали мне область значений для каждого из множителей. А это совсем не то, что я просил.

Хм. Не знаю даже как сформулировать...
Найдите максимум функции `f(x) = |sqrt(x+1)*cos(n*x)|` на отрезке `x in [0, 2]`. Можете?

[Heor]

то есть мажорирующий ряд будет

Верно.

[Arridan]

Да...а теперь пожалуйста обьясните мне как это записать на "математическом" языке.... Ато я это понимаю на интуитивном уровне...вряд ли смогу записать красиво и точно. Поможите?

[Heor]

Arridan
Так и записать.
1. Найти максимум числителя, т.е. функции `f(x) = |sqrt(x+1)*cos(n*x)|` на отрезке `x in [0, 2]`
2. Показать, что т.к. знаменатель не зависит от x и всегда положителен, то `|[sqrt(x+1)*cos(nx)]/[root3(n^5 + 1)]| <= ...`
3. Исследовать мажорирующий ряд на сходимость.
4. Сделать вывод о сходимости функционального ряда на промежутке на базе п.3.

[Arridan]

А признак какой используем для исследвания мажорирующего ряда? Сравнения со степенью? p>5\3?
Спасибо большое за помощь.

И можно еще вопрос по поводу обоснований?
`sum_{n=1}^{oo} 2*(n^2)*sqrt(x-2)*e^((-n^2)/(x-1)^3)`
Как тут обосновать что x больше или равен 2? Вель так? Ато то что sqrt(x-2) должен быть больше 0 мне препод сказал - неверно. Или может я это просто не так сказал %)

[Heor]

Arridan

А признак какой используем для исследвания мажорирующего ряда? Сравнения со степенью? p>5\3?

Любой из Вам известных. В том числе и сравнение с гармоническим рядом.

Как тут обосновать что x больше или равен 2? Вель так? Ато то что sqrt(x-2) должен быть больше 0 мне препод сказал - неверно. Или может я это просто не так сказал %)

Я не понял вопроса. x>=2 - это область допустимых значений для функции `sqrt(x-2)`.

[Arridan]

Мне нужно наити там область сходимости ряда. Как тут правильно расписать область определения для этого ряда?
Я писал что x должен быть большим или равен двум, т.к. sqrt(x-2) не может быть отрицательным. МНе преподаватель скахал что это неверно. Может я что-то не так сформулировал?

[Heor]

Arridan
Область допустимых значений переменной `x>=2`. По указанной Вами причине, ну и стоит, наверное, указать, что `x - 1 != 0`.
Раз уж Вы описываете ОДЗ.

Однако, это отнюдь не область сходимости ряда. Для нахождения области сходимости ряд надо исследовать. Но это уже другая задача получается.
А согласно правилам ресурса в одном топике можно рассматривать только одну задачу.

[Arridan]

Да я дальше сделал) ПРосто в ОДЗ не понял что у меня не правильно когда мне исправили. СПасибо за консультацю еще раз )

[Arridan]

x - 1 != 0
Правда не понял зачем это указывать((

[Heor]

Arridan
Затем, что x-1 стоит в знаменателе.

[Arridan]

Тьфу ты блин программист я хренов(((
То не факториал, а НЕ равен нулю ж?
Извеняюсь)))

[Гость]

помогите доказать равномерную сходимость ряда?
где сумма от 1 до бесконечности
(cos(pi*(n^2)*x))/((2^n)+(x^2))
где x принадлежит R