Подскажите пожалуйста

[mik9751]

Первый вопрос. С помощью определения предела последовательности показать, что данная последовательность `u_n` при `n->oo`
имеет своим пределом число А. Найти целое значение N, начиная с которого `|u_n - A|` меньше `epsilon`

Дано:
`u_n = (9-n^3)/(1+2*n^3)`
`A= -1/2`
`epsilon = 10^(-2)`
решаю:
`lim_(x->oo)(9-n^3)/(1+2*n^3) = -1/2 ->AA epsilon > 0 : EE delta>0 : AA -> |n-n_0|> delta => |(9-n^3)/(1+2*n^3)+1/2| < epsilon`
фиксирую `epsilon`

`|((2*(9-n^3)+(1+2*n^3))/(2*(1+2*n^3))| < epsilon`
`|((18-2*n^3+1+2*n^3))/(2*(1+2*n^3))| < epsilon`
`|(18+1)/(2*(1+2*n^3))|< epsilon`

выражаю n при котором `|u_n - A|` меньше `epsilon`

`|(19)/(2*(1+2*n^3))|< epsilon`
`|(19)/(2*(1+2*n^3))|< epsilon`
умножаю на минус один и переворачиваю дробь

`|(2*(1+2*n^3))/19|>(1/ epsilon)`

`|1+2*n^3|>(19/(2* epsilon))`

`|2*n^3|>(19/(2* epsilon))-1`
делю на 2
`|n^3|>(19/(4* epsilon))-(1/2)`
и извлекаю корень
`|n|>((19/(4* epsilon))-(1/2))^(1/3)`
`|n|>((19/(4* epsilon))-(1/2))^(1/3)`
`epsilon=10^(-2)`
`epsilon=1/(10^2))`
`epsilon=1/100`
`|n|>(((19*100)/(4))-(1/2))^(1/3)`
`|n|>((1900-2)/4)^(1/3)`

Вопрос такой, как поступить дальше?
Я смотрел решение такое:

`n_epsilon = |n|+1`
в этом решении `epsilon=10^(1/3)`
`n_epsilon =((19000-2)/4)^(1/3)+1`
получилось 16.8 +1 = 17.8
ответ `n_epsilon = 17`

это и есть целое значение ... N, начиная с которого `|u_n - A|` меньше `epsilon` ?
если да то почему именно N =`n_epsilon = |n|+1` , я не совсем понял.

2. Вопрос.
Дана задачка:
В прямоугольный треугольник с гипотинузой равной 8 и углом 60`@` вписан прямоугольник наибольшей площади, так что одна из его сторон лежит на гипотинузе. Найти эту наибольшую площадь.

Опять же я смотрел решение и кое- что из него не понял:
Решаем.

Чертеж:

`S=a*b= S_max`

Правильно ли что угол 60 гр будет при вершине B?
Дальше я решал изходя из этого:
`Cos(60)=(BA)/(BC)` значит `BA= BC*Cos(60)` и получается `BA=(sqrt(2)/2*(8))=4*sqrt(2)`
`Sin(60)=(AC)/(BC) -> AC=BC*sin(60)=8*(sqrt(3)/2)=4*sqrt(3)`

НО в решении которое я смотрел `BA = (BC)/2 = 4` и `AC=4*sqrt(3)`

в чем моя ошибка?

Дальше я не понял как выражаються стороны прямоугольника...
в решении в котором я смотрел написано:
`CG=2*b` и `AG=a*(sqrt(3)/2)'
я не понял откуда это получилось


Далее из `AC=AG+GC`
получаем
`(a*sqrt(3))/4 + 2*b = 4*sqrt(3) `
выражаем b
`b=2*sqrt(3)-(sqrt(3)*a)/4`

подставляю в формулу площади
`s=(a*sqrt(3))/4 + 2*sqrt(3)-(sqrt(3)*a)/4`
на этом месте я запутался..

почему подставляем в формулу эти значения? разве a и b не нужно выражать из `CG=2*b` и `AG=a*(sqrt(3)/2)' ??

в решении которое я смотрел написано так:
`s=a*(2*sqrt(3)-(a*sqrt(3))/4)` так как я запутался, я не понимаю откуда это получилось.

далее в решении которое я смотрел
береться производная от формулы s(a)
`s'=sqrt((3)/4)*(8-4*a)`
приравнивается к нулю
`sqrt((3)/4)*(8-4*a)=0`
находиться критическая точка `a=4`
анализируется

a (0;4 ) ( 4 ) (4;8)
s' + 0 -
s вверх MAX вниз

и делается вывод что при а=4 точка а есть максимум функции

из этого вычисляется `b=2*sqrt(3)-sqrt(3)= sqrt(3)`

и записывается ответ:
`max {a,b}= max{sqrt(3),4}`
почему местами а и б поменяли??? не понял.
и
окончательный ответ
`max{a,b}=4`
последнее мне тоже не совсем ясно.
Так же меня интересует решение задачки которое я описал правильное?

Вопрос третий. Ряд тейлора.

I)Разложить функцию `y=f(x)` по формуле тейлора в окрестности точки `x_0`до `o((x-x_o)^n)`

`y=sin^2(2x+1) x_0=-1 n=5`

ВОпрос такой формула тейлора такая?:
`y` ~`y(x_o) + (y'(x_0))/(1!) *(x-x_0) + (y''(x_0))/(2!) *(x-x_0)^2+ (y'''(x_0))/(3!)*(x-x_0)^3`
`+ (y''''(x_0))/(4!) *(x-x_0)^4+ (y'''''(x_0))/(5!) *(x-x_0)^5 + `o((x-x_o)^5)`

II) Вычислить предел используя формулу тейлора
`lim_(x->0)(x*e^x - ln(1-x))/(cos(2x)-sqrt(1-x^2))`


`lim_(x->0)=(F(x))/(G(x))= L`

Решал сравнивая с примером решения

1) `e^x ~~ 1+x+x^2/(2!)+ x^3/(3!) -> x*e^x ~~ x+x^2+x^3/(2!)+x^4/(3!) ....`
Вопрос: `2!` будет 2 и `3!`будет 6. Они никуда не деваються?
` x*e^x ~~ x+x^2+x^3/(2)+x^4/(6)` так?
2) `ln(1-x)` не уверен с этим раскрыл так: `ln(1-x) ~~ (-x)-(-x)^2/2 +((-x)^3)/3-((-x)^4)/4~~ -x-(x^2)/2-(x^3)/3-(x^4)/4`
в решении которое смотрел раскрыто так:
`ln(1-x) ~~ x-(x^2)/2 +(x^3)/3-(x^4)/4`

почему в этом решении - выносимый за скобку не меняет знак? Правильно ли это?

3)РАскрыл так:`Cos(2x)~~1-(2x)^2/(2!)+(2x)^4/(4!)~~1-(2x)^2/(2)+(2x)^4/(24)`
4)`sqrt(1-x^2)` раскрыл так как Же как предлагалось в решении которое я смотрел:
`sqrt(1-x^2)~~1+((-x^2))/2-((-x^2)^2)/4`

у меня получилось: `F(x)=x+x^2+x^3/(2)+x^4/(6)-(-x-(x^2)/2-(x^3)/3-(x^4)/4) = (3*x^2)/2 - x^3/6`
в решении что я смотрел ответ иной `F(x)=(X^2)/2 +(x^3)/6`

где ошибка?

и у меня вышло `G(x)= 1-(2x)^2/(2)+(2x)^4/(24) -(1+((-x^2))/2-((-x^2)^2)/4)=`
`=(-4*x^2)/2+(16*x^4)\24 -(-x^2)/2 +((-x^2)^4)/4=`
`=-(4*x^2)/2+(16*x^4)/24+(x^2)/2-(x^4)\4=-3/2*x^2+5/3*x^4`
и соответственно в решении которое я смотрел вышло: `-1/2*x^2-1/6*x^4`
опять не смог найти ошибку..

и конечный результат:
`lim_(x->0)=(F(x))/(G(x))= ((3*x^2)/2 - x^3/6)/(-3/2*x^2+5/3*x^4)= -1`
интересно что и в том решении которое я смотрел получилось:
`lim_(x->0)=(F(x))/(G(x))=((X^2)/2 +(x^3)/6)/(-1/2*x^2-1/6*x^4)=-1`

В чем мои ошибки? и правильно ли то решение которое я постоянно упомянаю?

@темы: Математический анализ

Comments

[Likeriya]

Уберите решения под кат, пожалуйста.
По геометрической задаче: с каких пор Cos(60)=sqrt(2)/2 ?

Уберите решения под кат, пожалуйста.

mik9751, если что, это значит, что спрятать решение под тег MORE.

По первому: Вы не перепутали определение предела последовательности с определением предела функции?
Для последовательности определение такое: `lim_(n->oo)x_n=a <=> \forall epsilon >0 exists N=N(epsilon) : \forall n>N` `|x_n-a|<epsilon`
Хотя, у Вас там что-то пропущено после объявления дельты и откуда-то взялось `n_0`.
И используя то, что `n` — натуральное, можно освободиться от модуля, чтобы не тащить его за собой.

Продолжение к первому:
Вот Вы нашли `N(epsilon)=[root{3}{19/(4epsilon)-1/2}]`.
Подставим `epsilon=10^(-2)`: `n(10^(-2))=[root{3}{19*100/4-1/2}]=[root{3}{474.5}]=[7.997...]=7`
Т.е. для любого `n>7` (или, другими словами, начиная с n=8) будет выполняться неравенство |`(9-n^3)/(1+2n^3)+1/2|<epsilon` при `epsilon = 10^(-2)`.
У Вас у `n_(epsilon)` вместо 1900 написано 19000, корень там другой должен быть, из-за лишнего нолика.

По II) Вычислить предел используя формулу тейлора
`ln(1-x)` у Вас расписан верно. Разложение `cos(2x)` можно упростить — сократить числа.
Разложение у `sqrt(1-x^2)` должно быть таким: `sqrt(1-x^2)~~1-x^2/2-x^4/8`, следовательно, G(x) вычислен неверно.
`F(x)` разложено неверно (скобки неверно раскрыты):
`F(x)=x+x^2+x^3/2+x^4/6+x+x^2/2+x^3/3+x^4/4=2x+3x^2/2+5x^3/6+5x^4/12`
У `G(x)` второе слагаемое должно быть `19/24 x^4`:
После раскрытия скобок и сокращения чисел: `G(x)=-2x^2+2/3 x^4+x^2/2+x^4/8=-3/2 x^2+19/24 x^4`
Далее уже считайте с такими F и G.

ВОпрос такой формула тейлора такая?:

Да, такая, только вначале должен быть знак равенства, а не тильда ~.

Еще раз по поводу:

II) Вычислить предел используя формулу тейлора

Вы уверены, что под корнем `1-x^2`, а не `1-x`? Так как в текущем виде предел слева от нуля равен плюс бесконечности, а справа от нуля минус бесконечности. Со вторым вариантом предел конечный и `x=0` — точка непрерывности.

Еще по поводу ряда Тейлора:
www.wolframalpha.com/ на этом сайте можно проверить, правильно ли Вы разложили, просто введя нужную функцию и в одном из разделов написано разложение (не забывать обращать внимание, в какой именно точке там разложено).
Или можно ввести: series функция at x=значение — разложит функцию функция в точке x=значение.

[Robot]

По геометрии еще

Дальше я не понял как выражаються стороны прямоугольника...
в решении в котором я смотрел написано:
я не понял откуда это получилось

/_c=30°
GF=b - катет против угла в 30 градусов => CG=2b
Угол DGA тоже 30 в градусов, DG=a
AG/DG= cos30

почему подставляем в формулу эти значения? разве a и b не нужно выражать из

Мы находим условие связи между а и b

[mik9751]

Likeriya Большое спасибо понял.
_nobody я действительно перепутал предел функции и предел последовательности.
Было не понятно "начиная с `n=8`"

почему `sqrt(1-x^2)` эквивалентен сему?
Я просто формулу не нашел для `sqrt(1-x)`
предположил что можно разложить по формуле для `sqrt(1+n^2)` где `-x^2` будет равен `n`
так же я не нашел формулу для `ln(1-x)`по этому коряво разложил
я так понял для `ln(1-x)=-x-(x^2)/2-(x^3)/3-(x^4)/4?

а
формула для `sqrt(1-x)=1-(x^2)/(2!)-(x^4)/(4!)`?

mik9751,
так в данном Вам пределе что во второй половине знаменателя: `sqrt(1-x)` или `sqrt(1-x^2)`?
Необязательно же помнить/знать/находить разложение какой-то функции, ведь несколько членов ряда Тейлора можно найти путем нахождения соответствующего количества производных данной функции.
По поводу разложения `sqrt(1-x)`:
`h(x)=sqrt(1-x)=1-x/2-x^2/8-x^3/16+o(x^4)`
Таким образом, `h(x^2)=sqrt(1-x^2)=1-(x^2)/2-(x^2)^2/8-(x^2)^3/16+o((x^2)^4)=1-x^2/2-x^4/8-x^6/16+o(x^8)`
Наверное, Вы это и имели ввиду — разложение икса со второй степенью через икс с первой степенью.

Было не понятно "начиная с n=8"

Было — это когда? Если сейчас непонятно, то в чем непонимане? Мы берем такие натуральные числа `n`, которые строго больше семерки. Первое такое (наименьшее) число есть восемь.

[mik9751]

Во второй половине знаменателя именно `sqrt(1-x^2))`

было не понятно из за того, что я по не знанию перепутал предел последовательности и предел функции, теперь я прочел параграф в учебнике про предел последовательности прочел ваши объяснения и моё непонимание исчерпалось, большое спасибо!)

Необязательно же помнить/знать/находить разложение какой-то функции, ведь несколько членов ряда Тейлора можно найти путем нахождения соответствующего количества производных данной функции.

вот это не понятно.. я думал, что нужно.. ээ раскладывать функцию по формуле тейлора в `x_0=0`
чтобы узнать формулу

вот это не понятно.. я думал, что нужно.. ээ раскладывать функцию по формуле тейлора

Я об этом и говорю, но из Ваших выкладок виднеется, словно Вы брали уже готовые разложения для стандартных функций, в то время как можно так сказать "с нуля" выводить это разложение путем нахождения производных. Если какое-то разложение забывается или не найти, то нужно не забывать про то, как это разложение вывести "с нуля". -) Сплошная тавтология.
Если Вы раскладываете при помощи производных, то ошибки нужно искать в местах вычисления производных.

[mik9751]

Если какое-то разложение забывается или не найти, то нужно не забывать про то, как это разложение вывести "с нуля"

то есть по тейлору разложить?

я то сделал совершенно по детски просто заменил `n` на `-x^2`

то есть по тейлору разложить?

непонятен вопрос ввиду двойственности: это вопрос — как разложить функцию в ряд Тейлора? или вопрос-утверждение — значит, надо эту вещь (непонятно какую) разложить по ряду Тейлора?
Скорее всего, второе.
mik9751, а разложение функции `sqrt(1-n)` откуда взяли? Сами вывели или просто откуда-то "скопировали/списали"? Я на примере этой функции, которую обозвал `h(x)`, и сделал то же самое, что и Вы, как понимаю.

Короче говоря, в чем у Вас конкретно сейчас вопросы?

[mik9751]

Вопрос конкретный какова формула разложения
`(1-x)^(alpha)`и `ln(1-x)`
и правильно ли, что разложение любой элементарной функции можно произвести по формуле тейлора(многочлен тейлора)?

mik9751,
Вы не можете вывести формулы самостоятельно, вычисляя производные? Вам же не нужен полный ряд, а достаточно лишь нескольких членов этого ряда.
`ln(1-x)` в Вашем первом сообщении темы был разложен верно: в точке `x=0` `ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4+o(x^5)`
А вообще есть выведенная формула для `ln(1+x)` в точке `x=0`: `ln(1+x)=sum_{n=0}^(infty) ((-1)^n x^(n+1))/(n+1)=sum_{n=1}^(infty) ((-1)^(n+1) x^n)/n`.

`(1-x)^a` — скобки же можно раскрыть по формуле бинома Ньютона, ведь это уже многочлен.
`(1-x)^a=sum_{n=0}^a C_a^n (-x)^n`
Вот тут еще сказано.

По второму вопросу не в курсе.
Но всякую бесконечно дифференцируемую функцию можно разложить в ряд Тейлора. Загвоздка лишь в том, что существуют такие бесконечно дифференцируемые функции, которые в виде ряда Тейлора в любой окрестности выбранной для ряда точки отличаются от самой функции. -)