помогите пожалуйста! Нужно разложить многочлен в поле....

[flame19]

F5 - поле из 5 элементов. Разложить в множестве многочленов над полем F на простые множители все многочлены вида x^6+2x^i+1, где i=1, 2, 3, 4, 5.

как я понимаю, всего будет 5 многочленов, и X^6 предполагаю равно x...
т.е. получается что будут такие многочлены:
x^2+2x+1; x^2+2x^2+1; x^2+2x^3+1; x^2+2x^4+1; x^2+2x^5+1...
подскажите пожалуйста, что делать дальше??

@темы: Высшая алгебра, Теория многочленов

Comments

[Trotil]

X^6 предполагаю равно x...

Нет, в фактор-множестве по неприводимому многочлену будет p^n элементов, а здесь - любые многочлены с коэф. из F5.

А дальше - проверять на множители. Есть хитрые быстрые критерии, а можно тупо перебором.

[flame19]

т.е. x^6 так и останется как x^6??
а что за хитрые и быстрые критерии??? это как например вынесение общего множителя, группировка и выделение полного квадрата??

[Trotil]

Еще можно помнить, что 2=7 или 1=6...
А есть и похитрее, но вам лучше о них не читать, если не проходили.

[flame19]

т.е. если раскладывать многочлен например x^6+2x+1, то допустим возьмём
для начала 1. тогда разделим наш многочлен на x-1, получим остаток равный 0, то раскладываем дальше таким же способом полученный множитель, и так со всеми остальными многочленами????

[Trotil]

Как вариант. Только необязательно делить, чтобы проверить, делится ли многочлен на x-1. Достаточно вычислить f(1).

[flame19]

а чему должно быть равно f(1)???

[Trotil]

Вестимо, какому-то элементу из F5. Если нулю - вам повезло.
А я спать.

[flame19]

ну нулю наверное быть не может, так как в поле элементы от 1 до 5....
спасибо за помощь) доброй ночи)

[Trotil]

Подучите-ка основы полей, это вам очень мешает...
И мне тоже мешало, я зачёт с третьего или с четвёртого раза по этой теме сдал (впрочем, это был весьма неплохой результат с нашим преподавателем)

[flame19]

спасибо) сейчас тогда этим и займусь....)

[flame19]

понятно)) могут получится числа от 0 до 4...
а может быть такое что например f(4)=0, а при делении на x-4 получается остаток???

[Trotil]

Вполне может.
Но есть такая бяка - многочлен 6-той степени может делиться на неприводимый многочлен 2-3-4-5-6-7-8-9 степени (какая максимальная степень - нужно подумать), а они не дают 0.
Пример в поле действительных чисел (x^2+1)^2. Два множителя, но при этом (x^2+1)^2>0 для любого x.

[Trotill]

То есть остаток = 0.

[flame19]

а этот случай распространяется только на какие-то многочлены определённой степени или вообще на все???

[Trotill]

Какой случай?

[flame19]

"многочлен 6-той степени может делиться на неприводимый многочлен 2-3-4-5-6-7-8-9 степени " - это справедливо для остальных многочленов??

[Trotill]

Ну вон выше я привёл пример с многочленом 4-той степени...

[flame19]

понятно... а как узнать тогда на какой многочлен нужно делить???

[Trotill]

Подбором.
Или есть хитрые способы, но они для углублённого изучения конечных полей.

[flame19]

ясно... спасибо)