Дифференциальные уравнения

[linux_user]

Добрый день!
Проверьте, пожалуйста, один примерчик:

Задание: решить уравнение.
`(x^2 + y^2) dx = 2xy dy`
`dy/dx = (x^2 + y^2) / (2xy)`
`dy/dx = 1/2 * (x/y + y/x)`
`y' = 1/2 * (x/y + y/x)`

`u = y/x => y =ux => y' = u'x + u`

`u'x + u = 1/2 * (1/u + u)`
`(du)/dx = (1-u^2)/(2u) * 1/x`
`int((2u)/(1-u^2) du) = int(dx/x)`

`-ln|1-u|-ln|u+1| = ln|x| + lnC`
`u^2 = xC - 1 => y/x = sqrt(xC-1) => y = x*sqrt((xC-1)`

Верно?

UPD: исправил.

@темы: Дифференциальные уравнения

Comments

[_ТошА_]

`u'x + u = 1/2(u + 1/u)`
ведь так должно быть

[Heor]

linux_user
Почему `u'x + u = u/2`?

[linux_user]

Да. Сейчас пересчитаю.

[linux_user]

Я исправил. Смотрите выше.

[Heor]

Ответ не верен. Остальное правильно.
Вы знак минус написали, но потеряли его при возведении (избавлении от логарифмов)?

[_ТошА_]

нет. `1 - u^2 = C/x`
И если уж вы извлекаете корень, то надо писать +-

[linux_user]

Ай... Точно. Тороплюсь видимо. Только почему `C/x`, а не `C*x`? Там же `ln|x|+lnC`.
Получается так:
`1-u^2 = x/C`
`u = +-sqrt(1-x/C)`
`y/x = +-sqrt(1-x/C)`
`y = x * (+-sqrt(1-x/C))`

[Heor]

linux_user
У Вас слева `- ln|1-u^2|` отсюда и оборот. Либо правую часть, либо левую надо перевернуть. По Выбору.
Ибо `e^(-x) = 1/(e^x)`.

[linux_user]

Heor да, я уже понял. Спасибо Вам и _ТошА_ за бесценную помощь

[linux_user]

Я извиняюсь, но у меня ещё вопрос: вот тут - клац - этому верить нельзя?

[_ТошА_]

если вынести х, получится то же самое.

[linux_user]

_ТошА_ даже если так, то там все равно остается "+" в скобках, а у нас получился "-". Видимо я чего-то недопонимаю.

[_ТошА_]

С любое. Его можно запихать в С