Комбинаторика

[atlant-e]

Поверьте пожалуйста и подскажите где не знаю.
1. Бильярд. 6 нумерованных луз, 9 белых и 7 черных ненумерованных шаров.
1) Всего способов раскидать: `C(~)_6^9*C(~)_6^7`
2) В каждой есть и белые и черные `6*C(~)_6^2`
3) Черные и белые отдельно - не знаю вот это
4) Каждая луза не пустая `C(~)_6^9*C(~)_6^7-6*С(~)_5^9*C(~)_5^7`
5) Две пустые `C_6^2*C(~)_4^7*C(~)_4^9`
2. `TZ` Пусть А и В некоторые множества, причем n(A)=m n(B)=n (n(X) -мощность множества Х)
1) сколько существует отображений множества А в множество В
2) сколько существует инъекций:
3) сколько существует сюрьекций
4) сколько существует биекций
[[/TZ]]
По 2.1 `f: A->B`: `m^n` - верно?
С(~) - это в смысле с повторениями комбинации

@темы: Бинарные отношения, Дискретная математика, Комбинаторика

Comments

[Heor]

atlant-e
1. а чем С(~) отличается от С?
2. Почему вы различаете, например, в первом ответе белые и черные шары?

[atlant-e]

1. тильда - это значит с повторениями. я подписал внизу.
2. не знаю... я забиваю белые, а затем черные

[Heor]

2. не знаю... я забиваю белые, а затем черные

И что общее количество способов измениться, если я, например, буду забивать в таком порядке: один белый, потом два черных, потом 4 белых, потом пять черных и снова 4 белых?

[Trotil]

Хорошие задачки. А сроки какие?

[atlant-e]

Heor ничего по-сути. я тогда не знаю как.
Trotil желательно ближайшие 3 часа

[Heor]

atlant-e
Вот и мне кажется, что ничего не измениться. А Ваша формула утверждает обратное...
Давайте, сперва определимся, что мы будем называть "способом раскидать", а потом подумаем как считать...

[atlant-e]

я так понимаю, что имеет значение только расположение шаров в лузах. к примеру, в 1 лузе - 2 б и 1 ч, в 2 лузе - ни одного, в 3 - 2 ч. , и т.д.
"способом раскидать" нужно, я так думаю, называть 1 такой вариант раскидки шаров в лузы

[Heor]

atlant-e

Trotil желательно ближайшие 3 часа

с первой я Вам помогу разобраться. А по второй я плохо помню теорию.

[atlant-e]

Спасибо

[Heor]

atlant-e

я так понимаю, что имеет значение только расположение шаров в лузах. к примеру, в 1 лузе - 2 б и 1 ч, в 2 лузе - ни одного, в 3 - 2 ч. , и т.д. "способом раскидать" нужно, я так думаю, называть 1 такой вариант раскидки шаров в лузы

Верно. Т.е. если сформулировать иначе. Нам надо каждому белому шарику присвоить номер лузы (1-6). Причем порядок не учитывается. Аналогично с черными.
Можем посчитать?

[atlant-e]

не понимаю, что изменилось по отношению к моей формуле. или там + вместо *?

[Heor]

atlant-e
Нет. Там умножение. Вот только я до сих пор не знаю, что такое ваше `C(~)`
Если он `C(~)_n^k = C_(n+k-1)^k`, то по идее в первом верно.

А вот со второй сложнее. Можете объяснить свою логику?

[atlant-e]

да, я же говорю, что сочетания с повторениями. вы и написали эту формулу.
во втором - я так думал: закинули в каждую лузу по белому и черному шару. осталось 3 белых и 1 черный. есть `6*С_(6+3-1)^3` способов раскидать остальные. ой, в первом сообщении не правильно. там 3 а не 2

[Trotil]

Я подключусь, как разберёте 1-ую задачу.

[Heor]

atlant-e
Рассуждения верные. Т.к. шары мы между собой различаем только по цвету.
То все будет зависеть от того, как мы разложим оставшиеся.
Просто странно, что Вы то через C пишете, то цифрами.

Тогда второй верен. Последний тоже.

3) Черные и белые отдельно - не знаю вот это

Выбрали какое-то количество луз и закинули туда белые шарики. По оставшимся раскидали черные. Плюс могут быть пустые лузы.
Но последнее нас не сильно интересует. По идее пустые лузы и так посчитаются.

1. Допустим, что в 1 лузе лежат все черные шары. А белые как-то раскиданы по остальным.
2. Допустим, что в 2-х лузах лежат черные шары. А белые как-то раскиданы по остальным.
3. ....

Посчитать надо вероятность каждого варианта, а потом просуммировать.

[atlant-e]

`sum_(k=1)^5 C_6^k*C_(k+9-1)^9*C_(6-k+7-1)^7

[Heor]

Да. Зря упустил момент с пустыми лузами. Тут есть несколько подходов учета.
Проще всего просчитать следующий:
Раз уж мы привязываемся к черным шарикам, то будем считать, что черные шарики размещены в n-лузах, если в каждой из них есть хотя бы один черный шарик.
Таким образом, пустые лузы всегда относятся к группе белых размещений. И мы это учитываем подсчетом...

[Heor]

atlant-e
Ага. Вы почти правильно формулу написали. Вот только обратите внимание на мое рассуждения о пустых лузах и привязку к цвету.
Фактически, это значит, что в зависимости от количества луз у нас изменяется количество "свободных" черных шариков.

[atlant-e]

`sum_(k=1)^5 C_6^k*C_(k+9-k-1)^(9-k)*C_(6-k+7-1)^7` тогда так по идее?

[Heor]

atlant-e
Почему.
Смотрите.
Допустим, что черные распределены в двух лунках, а белые в оставшихся 4.
Соответственно, мы считаем количество способов которыми можно выбрать эти две лунки `C_6^2`
Считаем, количество способов которыми можно разместить 7-2=5 свободных черных шариков в двух лунках ...
Считаем, количество способов которыми можно разместить 9 шариков в оставшихся 4 лунках.

Потом эти три цифры перемножаем. А у Вас написано несколько иначе, вроде бы...

[Heor]

Хотя. Ваша формула, похоже, привязана к белым шарикам. Так тоже можно. Результат должен получиться тот же.
Но объяснения нужны иные.

[atlant-e]

ой, я перепутал ко-во черных и белых шаров.
тогда так:
`sum_(k=1)^5 C_6^k*C_(k+7-k-1)^(7-k)*C_(6-k+9-1)^9`
а вообще, будет ли разница? получается я до этого записал относительно белых, а сейчас - черных. но число должно быть одинаковым

[Heor]

4) Каждая луза не пустая

1. Раз каждая луза не пустая, то мы выбираем 6 шариков из 9+7 данных.
Причем, среди этих наборов может оказаться допустим 2 черных и 4 белых, или 1 черный и 5 белых, или ...
Оставшиеся, соответственно, уже разбрасываем как придется по формуле из первого пункта.

[Heor]

а вообще, будет ли разница? получается я до этого записал относительно белых, а сейчас - черных. но число должно быть одинаковым

Число должно получиться одно и тоже... Разницы нет.

[atlant-e]

спасибо, с этим понятно. что у меня в 4)? я рассуждал так: Каждая луза не пустая=все способы - хотя бы 1 пустая, но похоже что-то не так... я учел только когда 1 пустая

[Heor]

я учел только когда 1 пустая

Именно.

Можно и вашим способом. Только тогда надо еще вычесть "две пустые", "три пустые", "четыре пустые" и т.д.

[atlant-e]

что-то я не могу сообразить как посчитать ко-во способов закинуть 6 шаров из 9 б и 7 ч, да еще и с учетом того, что лузы разные

[Heor]

atlant-e
Через сумму.
Снова раскладываем на простейшие варианты:
1 черный, 5 белых. Выбрать можно одним способом (т.к. шары различимы только по цвету.) Распихать по лункам `(C_5^1)*(C_1^1)` способом...
И т.д.

[Heor]

atlant-e
Ну и как я уже говорил. Вы можете продолжить считать своим способом. Только вычтите еще события

"две пустые", "три пустые", "четыре пустые" и т.д.

К сожалению. На сегодня все. Я до завтрашнего утра исчезаю.

[atlant-e]

что-то не совсем ясно. в вашей формуле учитывается только 1 луза, в которой черный шар. но лузы все разные. не нужно ли домножить на 6?