[dimedovich]

Здравствуйте. Помогите с задачками по тфкп.

1.`TZ` построить на комплексной плоскости область, заданную условием:
12|z-i|+|z+i|<4`TZ`
Я в этом плохо соображаю... это будут две окружности с центрами в точках (0,-i)и(0,i) и радиусами 1/3 и 4? или что?

2.`TZ` построить конформное отображение из области D1={|z-1|>1,|z+1|>1,Im(z)>0} на область D2={Im(z)>0}.[[/TZ]]

я знаю только как построить отображение, переводящее верхнюю полуплоскость в верхнюю полуплоскость, либо одну из окружностей в верхнюю полуплоскость, допустим [|z|>1] -> [Im(z)]:
w=e^(i*Q)*(z-a)/(z-a') , (где a' - сопряженный к а) - это отображение переводит множество |z|<1 в Im(z).
А w=1/z переводит |z|<1 в |z|>1

Соответственно, w = (z-a')/(z-a)*e^(-i*Q)
откуда, z = (a*w-a'*e^(-i*Q))/w-e^(-i*Q) . Далее, пусть а=Q=i. Получаем z=(i*w+z*i)/(w-z) = i*(w+z)/(w-z)
но это отображение переведет только лишь окружность с центром в (0,0), а как быть с двумя окружностями с разными радиусами??

@темы: ТФКП

Comments

[Alidoro]

Я понимаю так, что вы везде круг называете окружностью.
1. А если бы было без множителя 12, то какая бы область была? А на ваш вопрос легко ответить. Возьмите центр окружности (0,-i), подставьте и убедитесь, что вашему условию эта точка не удовлетворяет. То есть ваше предположение неправильно.

2. Здесь область D1 не связна, а область D2 связна, что очень странно. По-моему, такого отображения не существует. Может быть задача в том, чтобы это доказать?

[dimedovich]

Спасибо, по первой задачи немного разобрался. Обозначил z=x+i*y, убрал множитель 12 и после преобразований, получил область, лежащую внутри эллипса:

(y^2)/4+(x^2)/3<1

как я понимаю, i и -i - это будут фокусы

а вот если оставляю множитель 12, то ничего преобразовать не получается. X и Y в четвёртых степенях, и с большими коэффициентами..ничего не сокращается.
но ведь это тоже должен быть эллипс. Может он как то наклонен относительно одного из фокусов? т.е один из фокусов будет так же -i, а второй будет не i.

По второй задачи, почему область D1 будет не связной?.

[Alidoro]

Боюсь, что с множителем 12 и не получится ничего хорошего. От четвертой степени мне избавиться не удалось, и подобного типа задач я не встречал. Может быть 12 это номер задачи с точкой, а вы приняли его за множитель? Может быть у кого-то еще будут какие-то идеи.

Здесь зависит от того, какое у вас было определение связности. В ТФКП, поскольку речь идет об открытых областях, то обычно принимают такое определение, что любые две точки области можно соединить ломаной с конечным числом звеньев. В данном случае прямая Re z=0 разделяет множество на две области, а сама множеству не принадлежит. Любая ломаная, соединяющая точки из левой и правой области пересекает эту прямую, а значит не принадлежит полностью множеству.

[Alidoro]

Нет, я не прав со связностью. Еще раз посмотрел. Я неправильно понял условие. Надо подумать.

[dimedovich]

как я понял, в D1 будет лежать вся комплексная плоскость, из которой исключены отрезок [-2,2] и нижние половины окружностей |z-1|<1,|z+1|<1, т.е которые лежат непосредственно под этим отрезком. У нас есть определение односвязной, двусвязной и т.д областей.
Односвязнное множество - значит, что любой замкнутый путь, принадлежащий, данной области, можно стянуть в точку, принадлежащую данной области.
В данном случае, D1 - двусвязная область, а D2 - односвязная область. У меня идей нет совсем.

[Alidoro]

По-моему, не то пишете. Область D1 это пересечение внешностей кругов, касающихся в точке нуль и верхней полуплоскости. То есть это верхняя плоскость с двумя полукруглыми вырезами. Как такую область отображать — ума не приложу. Поднимите топик, может кто-нибудь другой поможет. Я в ТФКП плохо разбираюсь.

[dimedovich]

А, точно.. я не прав, думал, что объединение.
Тогда область будет односвязной. Тогда по теореме Римана существует изоморфное и конформное отображение между этими двумя областями

[dimedovich]

Вроде разобрался. По свойству дробно линейной функции получается, что [(w-w1)*(w3-w2)]/[(w-w2)*(w3-w1)]=[(z-z1)*(z3-z2)]/[(z-z2)*(z3-z1)]
Выбор трех точек осуществляется, так, что при движении от z1 к z3 через z2, область остается слева(т.е слева направо, как я понял). Аналогично производится выбор точек w из D2.

w1=-1+i,w2=i,w3=1+i
z1=-1+2i,z2=i,z3=z+2i

если в расчетах не наврал, то получается, что w=i*(2i*z+2-z*z-4i-z)/(z+3)