Ряды

[reget]

Здраствуйте, я сдал расчетку по рядам. После проверки преподаватель вернула её, сделав несколько замечаний. Подскажите пожалуйста, что не так, как можно исправить. Желательно до 12:00 часов 11 октября.
Пример №1. `TZ`Пользуясь определение сходимости числового ряда, исследовать на сходимость ряд `sum_(n=1)^oo 1/((4n-3)(4n+1))` и в случае сходимости найти его сумму[[/TZ]]:



Пример №2.1. `TZ`Исследовать на сходимость знакопостоянный ряд `sum_(n=1)^oo n/((n+1)4^n)`[[/TZ]]:

Тут надо было написать `q=1/4<1`
Пример №2.4.`TZ` Исследовать на сходимость знакопостоянный ряд `sum_(n=2)^oo 5/(n+ln(n))`[[/TZ]]:

Пример №2.8.`TZ` Исследовать на сходимость знакопостоянный ряд `sum_(n=1)^oo n^n/(ln^n(n+1))`[[/TZ]]:

Пример №3.1.`TZ` Исследовать на сходимость знакопеременный ряд `sum_(n=1)^oo sin((pin)/12)/(n^5)`[[/TZ]]:

Забыл числитель будет в модуле. В остальном этот пример вроде правильный.

@темы: Ряды

Comments

[VEk]

Не совсем понятно, как можно давать советы, если неизвестно задание.
№1 Вы нашли последовательность частичных сумм ряда. Может надо было сказать, что ряд сходится по определению. А может там сосем другое задание.
№2.1 Очевидно, что `q=1/4` Но стоило и использовать предельный признак сравнения, если имеет место оценка `a_n=n/((n+1)*4^n) < 1/(4^n)`, а мажорантный ряд `sum_(n=0)^(oo) 1/(4^n)` сходящийся.
№2.4 В четвертой строке - грубая ошибка, почему-то не подчеркнута. `n+kn(n)<n+n` и это выражение никак не связано с `n^(0.5)`
№2.8 Ошибка в первом переходе, она подчеркнута преподавателем.
№3.1 Там, где стоит знак вопроса надо в числителе было написать модуль

[reget]

№1 Вы нашли последовательность частичных сумм ряда. Может надо было сказать, что ряд сходится по определению. А может там сосем другое задание.
VEk во всех заданиях нужно исследовать на сходимость. Спасибо, значит надо было написать, что ряд сходится по определению.

№2.4 Т.е. воспользовавшись признаком сравнения, используем для сравнения эталонный гармонический ряд `1/(2n)`:
`n+ln(n) < n+n`
`1/(n+ln(n)) > 1/(2n)`
Вывод: так как расходится эталонный ряд, то расходится и исследуемый.

№2.8 В данном примере надо было сначала воспользоваться радикальным признаком Коши?
`U_n=n^n/(ln^n(n+1))`

`root(n)(U_n)=n/(ln(n+1)^n)`

`lim_(n->oo) n/(ln(n+1)^n)=lim_(n->oo) n/(ln(1+1/n)^n)=lim_(n->oo) n/(ln(e))=lim_(n->oo) n=oo`
Вывод: ряд расходится.

[VEk]

2.4 Теперь верно, если конечно не потребуют доказаывать неравенство `ln n < n`
2.8 Нц во первых Вы неправильно извлекли корень из знаменателя, степени под знаком логарифма не будет. Но кто мешает Вам воспользоваться почти таким же неравенством как и в 2.4, только `ln(1+n)<n`. И тогда спокойно проверить необходимый признак сходимости.

[reget]

`ln(1+n) < n`
`n/(ln(1+n)) > 1/n`
Ряд расходится, по признаку сравнения.
Не понял, а как проверить в данном случае необходимый признак сравнения.

[Robot]

reget Вы не первый же день в сообществе, а не выполняете правила
По правилам условие (не решение) выкладывается в текстовом формате, а формулы в формате скрипта
Пользовательский скрипт для отображения формул И Help по набору формул

Скрипт можете и не устанавливать, но формат набора формул использовать обязательно

То есть задание состоит в том, что
Исследовать на сходимость +формула, задающая ряд и т.д.
Дополните свое сообщение

[reget]

Robot извините. Добавил условие.

[Robot]

reget
спасибо

[VEk]

Комментарий к Вашему посту от 19:12
Если` ln(n+1)< n` то `n/ln(n+1) > n/n=1`

[reget]

Если `ln(n+1) < n` то `n/(ln(n+1)) > n/(n) = 1`
Следовательно не равно нулю, то ряд расходится.
А вообще же проверяли по радикальному признаку Коши. Там если в результате получится число меньшее единицы, то ряд сходится; большее единицы, ряд расходится; равное единицы, может сходится, может и расходится.

[VEk]

reget По признаку Коши у Вас в пределе получается бесконечность. Но можно было воспользоваться приведенной оценкой и показать, что общий член ряда не стремится к нулю ( необходимы признак сходимости)

[reget]

VEk
то есть, сначала можно использовать Коши, а потом проверить необходимый признак сходимости?

[VEk]

Лучше было сразу воспользоваться необходимым признаком сходимости `a^n > 1^n =1`, где `a=n/(ln(1+n))`

[reget]

VEk ясно, спасибо за помощь!

[reget]

сделал пример 2.8 вот так. преподаватель пишет подробнее.

[VEk]

Нужно было написать.
Проверим необходимый признак сходимости, для чего оценим общий член ряда снизу. Так как `ln(n+1) < n` то `n/(ln(n+1)) > n/n=1`. Поэтому `a_n=n^n/(ln(1+n))^n = (n/ln(1+n))^n > 1`. Значит, не выполняется необходимый признак сходимости и, следовательно, ряд расходится.
Вы же приплели в ответе признак сравнения (им можно пользоваться, но немного по другому) и не показали оценку общего члена ряда снизу, а только привели финальный результат.

[reget]

Так как `ln(n+1)n/n=1`.
не понял этот момент

[VEk]

не понял этот момент

Просто часть текста из- за отсутствия пробелов около знака > пропала. Извините. Сейчас выправлю все.
Уже исправлено (в комментарии выше).

[reget]

VEk
Спасибо!