Доказательство, иррацинальные и рациональные числа

[cpt. jack harkness]

10 класс.

Домашняя работа, алгебра.

Пусть p/q - несократимая дробь и q>1. Доказать, что натуральная степень (p/q)^n, n Є N, есть также несократимая дробь.

Я поняла, что надо доказать рациональность числа (p/q)^n, но как это сделать, я не понимаю.

Нужно хотя бы до 21 по Москве, пожалуйста!

@темы: Теория чисел

Comments

[VEk]

1. Запишите, как вы понимаете, что такое несократимая дробь.
2. Давайте пробовать доказательство при n=2.

[cpt. jack harkness]

1. несократимая дробь => p и q - взаимно простые числа.
2. дело в том, что я вообще не понимаю, как начать доказательство.. у меня все приходит к тому, что p/q, что противоречит условию.
или я не к тому приравниваю

[Robot]

А Вы доказывали в школе, что если а взаимно просто с с и b взаимно просто с с, то и их произведение ab взаимно просто с с?

[VEk]

Давайте предположим, что `p^2` и `q^2` не являются взаимно простыми. Что из этого следует? Как это записать?

[cpt. jack harkness]

Robot нет, такого не было.

VEk мм.. если так, то p^2/q^2 - сократимая дробь. тогда ее можно приравнять к какому-нибудь числу - например, a.
или не туда опять? (

[VEk]

Не совсем. Просто тогда существует число k, не равное нулю, такое, что `p^2=km` и `q^2=kn`, где НОД(m,n)=1. Какой вывод из этого можно сделать?

[cpt. jack harkness]

так, ну у нас из теорем и свойств только одна сводится к НОД, надеюсь, что в тему будет.

mn = НОК (m,n) * НОД (m,n)
НОК (m,n) = mn/ HOД (m,n)
НОК (m,n) = mn

получается, что m и n - взаимно простые.


ох опять чувствую не в ту степь

[VEk]

Это Вы несколько не туда пошли. Из приведенных равенств следует, что и `p^2` и `q^2` делятся на k.
Предположим что число k не является полным квадратом. Какой вывод можно сделать из того, что `p^2` делится на k?