Мат. Анализ

[StrToInt]

MZ
Добрый день всем.
Кто может помочь решить несколько заданий по мат. анализу? Или хотя бы натолкнуть на решение.

1.`TZ` Найти коэффициенты при `x^3` и `x^4` многочлена `(1+2x-3x^2)^4``TZ`
2. `TZ`Доказать двумя способами(ММИ и без ММИ), что при `|x| <= 1` верно `(1+x)^n + (1-x)^n <= 2^n` [[/TZ]]
ММИ = Метод математической индукции

Буду очень благодарен.

@темы: Метод математической индукции, Комбинаторика

Comments

[Robot]

А в задании 2) в чем трудность доказать ММИ?
Там вроде все нормально получается

[VEk]

1. Один из способов решения такой. Разлагаем квадратный трехчлен на множители, каждый из получившихся множителей возводим в 4-ю степень и перемножаем два многочлена (точнее, считаем только коэффициенты при `x^3` и `x^4`).
2. Один из способов доказательства без ММИ. Пусть `x=cos2t, t in [0;pi/2]`. Тогда неравенство сводится к `2^n(cos^(2n)t+sin^(2n)t) <=2^n` и остается доказать почти очевидное неравенство `cos^(2n)t+sin^(2n)t <=1`.

[Robot]

VEk
Вовек бы не додумалась до использования тригонометрических функций..

[StrToInt]

Спасибо за объяснения.

[Alidoro]

По поводу первой задачи. Может быть, это задача на полиномиальные коэффициенты?
Может, с ними вас знакомили как с примером работы метода математической индукции?
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1%83%D0%BB%D1%8C%...
Для третьей степени нужно сложить члены с k1=2 k2=1 k3=1 и k1=1 k2=3 k3=0
Для четвертой степени с k1=2 k2=0 k3=2, k1=1 k2=2 k3=1 и k1=0 k2=4 k3=0
А потом посмотреть коэффициент у суммы.

[Trotil]

Второе можно доказать также через свойства биномиальных коэффициентов.