по адресу iostatgrad.mioo.ru/ege10.pl (или alexlarin.narod.ru/ege/2010/prob/240410/240410v...)
Критерии alexlarin.narod.ru/ege/2010/prob/240410/krit240...
По этому же адресу, iostatgrad.mioo.ru/ege10.pl , школьники могут узнать свои результаты
Решите систему уравнений `{(5*25^(tgx)+14*5^(tgx)-3=0),(sqrt(3y-y^2)+2sinx=0):}`
Сделаем замену `z = 5^(tgx)`. Из первого уравнения получаем: `5z^2+14z-3 = 0`. Корни уравнения: -3 или 1/5.
Уравнение `5^(tgx)=-3` не имеет решений, а из уравнения `5^(tgx)=1/5` получаем: `tgx = -1`.
Из второго уравнения следует, что `sinx le 0`. Следовательно, `x=-pi/4+2pin, n in ZZ` и `sin x = -sqrt(2)/2`.
Из второго уравнения находим: `sqrt(3y-y^2) = sqrt(2)`, откуда `y^2 - 3y + 2 = 0`.
Корни: y = 1 или y = 2.
Ответ: `(-pi/4+2pin;1); (-pi/4+2pin;2); n in ZZ`.
Решите систему уравнений `{(5*25^(tgy)+14*5^(tgy)-3=0),(sqrt(-3x-x^2)+2siny=0):}`
Сделаем замену `z = 5^(tgy)`. Из первого уравнения получаем: `5z^2+14z-3 = 0`. Корни уравнения: -3 или 1/5.
Уравнение `5^(tgy)=-3` не имеет решений, а из уравнения `5^(tgy)=1/5` получаем: `tgy = -1`.
Из второго уравнения следует, что `siny le 0`. Следовательно, `y=-pi/4+2pin, n in ZZ` и `sin y = -sqrt(2)/2`.
Из второго уравнения находим: `sqrt(-3x-x^2) = sqrt(2)`, откуда `x^2 + 3y + 2 = 0`.
Корни: x = -1 или x = -2.
Ответ: `(-1;-pi/4+2pin); (-2; -pi/4+2pin); n in ZZ`.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 3sqrt(2), а боковое ребро равно 5. Найдите угол между плоскостями ABC и ACM, где точка M делит ребро BS так, что BM:MS = 2:1.
Треугольники MSC и MSA равны, следовательно, МС = MA. Треугольник AMC равнобедренный. Проведем в этом треугольнике высоту MO. О - центр основания. Диагонали квадрата перпендикулярны, следовательно, ВО _|_ АС. Таким образом, искомый линейный угол - угол BOM.
В прямоугольном треугольнике SOB: `SO = sqrt(SB^2-BO^2) = sqrt(5^2-3^2) = 4`.
Проведем перпендикуляр МН к плоскости основания. `MH = 2/3SO = 8/3`. `OH = 1/3OB = 1`.
Из прямоугольного треугольника OHM находим: `tg /_MOH = (MH)/(OH) = 8/3`.
Ответ: `arctg 8/3`.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 6sqrt(2), а боковое ребро равно 10. Найдите угол между плоскостями ABC и ACM, где точка M делит ребро BS так, что BM:MS = 2:1.
Треугольники MSC и MSA равны, следовательно, МС = MA. Треугольник AMC равнобедренный. Проведем в этом треугольнике высоту MO. О - центр основания. Диагонали квадрата перпендикулярны, следовательно, ВО _|_ АС. Таким образом, искомый линейный угол - угол BOM.
В прямоугольном треугольнике SOB: `SO = sqrt(SB^2-BO^2) = sqrt(10^2-6^2) = 8`.
Проведем перпендикуляр МН к плоскости основания. `MH = 2/3SO = 16/3`. `OH = 1/3OB = 2`.
Из прямоугольного треугольника OHM находим: `tg /_MOH = (MH)/(OH) = 8/3`.
Ответ: `arctg 8/3`.
Решите неравенство `log_4(x+2)*log_x 2 le 1`.
Преобразуем неравенство: `(log_2(x+2))/(2log_2 x) le 1`, `log_x (x+2) le 2`
1 случай: `{(x+2 le x^2),(x gt 1):}`, `{(x^2-x-2 ge 0),(x gt 1):}`, откуда `x ge 2`.
2 случаи: `{(x+2 ge x^2),(0 lt x lt 1):}`, `{(x^2-x-2 le 0),(0 lt x lt 1):}`, откуда `0 lt x lt 1`.
Решение неравенства найдем, объединяя найденные промежутки: `(0;1) uu [2;+oo)`
Ответ: `(0;1) uu [2;+oo)`.
Решите неравенство `log_4 y*log_(y-2) 2 le 1`.
Преобразуем неравенство: `(log_2 y)/(2log_2 (y-2)) le 1`, `log_(y-2) y le 2`
1 случай: `{(y le (y-2)^2),(y-2 gt 1):}`, `{(y^2-5y+4 ge 0),(y gt 3):}`, откуда `y ge 4`.
2 случаи: `{(y ge (y-2)^2),(0 lt y-2 lt 1):}`, `{(y^2-5y+4 le 0),(2 lt y lt 3):}`, откуда `2 lt y lt 3`.
Решение неравенства найдем, объединяя найденные промежутки: `(2;3) uu [4;+oo)`
Ответ: `(2;3) uu [4;+oo)`.
Точка H - основание высоты треугольника со сторонами 10,12,14, опущенной на сторону, равную 12. Через точку H проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 10, в точке M. Найдите HM.
Пусть CH - высота треугольника ABC со сторонами AB = 12, AC = 10, BC = 14. По теореме косинусов `cos /_BAC = (AB^2+AC^2-BC^2)/(2AB*AC)=(144+100-196)/(2*12*10)=1/5`.
Из прямоугольного треугольника AHC находим, что `AH = AC cos /_BAC = 10*1/5 = 2`.
Заметим, что существует ровно два случая расположения точки М на стороне АС: либо /_AHM = /_ABC (рис. 1), либо /_AHM = /_ACB (рис. 2).
В первом из этих случаев HM||BC, треугольник AHM подобен треугольнику ABC с коэффициентом AH:AB = 2/12 = 1/6, следовательно, HM = BC * 1/6 = 14 * 1/6 = 7/3.
Пусть теперь /_AHM = /_ACB. Тогда треугольник AMH подобен треугольнику ABC, причем коэффициент подобия равен AH:AC = cos /_BAC = 1/5, следовательно, HM = BC * 1/5 = 14*1/5 = 14/5.
Ответ: `7/3` или `14/5`
Площадь трапеции ABCD равна 240. Диагонали пересекаются в точке О, отрезки, соединяющие середину P основания AD с верщинами В и С, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь четырехугольника OMPN, если одно из оснований трапеции втрое больше другого.
Пусть AD = 3BC (рис. 1). Положим BC = a, AD = 3a, OC = x. Треугольник COB подобен треугольнику AOD с коэффициентом BC:AD = 1:3, a треугольник CMB подобен треугольнику AMP с коэффициентом BC:AP = a/(3a/2) = 2/3, поэтому: OA=3x, AC=OA+OC=3x+x=4x, MC=2/5 * 4x=8/5 x, OM = MC-OC = 8/5 x - x = 3/5 x, значит, OM/OA = (3/5 x)/(3x) = 1/5. Аналогично, ON/OD = 1/5.
Пусть h - высота трапеции. Тогда (a+3a)/2 h = 2ah = 240, ah=120, S_{AOD} = 1/2 * 3a * 3/4 h = 9/8 ah = 135, S_{DNP} = S_{AMP} = AM/AO * AP/AD * S_{AOD} = 4/5 * 1/2 * 135 = 54.
Следовательно, S_{OMPN} = S_{AOD} - S_{DNP} - S_{AMP} = 135 - 54 - 54 = 27.
Рассмотрим случай, когда BC=3AD (рис. 2). Положим BC = 3a, AD = a, AM = t. Треугольник AOD подобен треугольнику COB с коэффициентом AD/BC = 1/3, а треугольник AMP подобен треугольнику CMB с коэффициентом AP/BC = (a/2)/3a = 1/6, поэтому MC = 6t, AC = AM + MC = 6t+t = 7t, OA = 1/4 АС = 1/4 * 7t = 7/4 t, значит, AM/AO = t/(7/4 t) = 4/7. Аналогично, DN/DO = 4/7.
Пусть h - высота трапеции. Тогда (a+3a)/2 h = 2ah = 240, ah = 120, S_{AOD} = 1/2 a*1/4 h = 1/8 ah = 15, S_{DNP} = S_{AMP} = AM/AO * AP/AD S_{AOD} = 4/7 * 1/2 * 15 = 30/7.
Следовательно, S_{OMPN} = S_{AOD} - S_{DNP} - S_{AMP} = 15 - 30/7 - 30/7 = 45/7.
Ответ: 27 или 45/7.
Найдите наименьшее значение параметра a, при котором функция `y = 9+7x-3|ax+2|+|ax+5|+|x+1|` является неубывающей на всей числовой прямой.
Функция `y = 9+7x-3|ax+2|+|ax+5|+|x+1|` определена при всех `x in RR`.
Предположим, что a < 0. На каждом из промежутков с границами -1; -2/a; -5/a (в порядке возрастания) функция является линейной, и её график лежит на некоторой прямой.
Чтобы функция нигде не убывала, необходимо и достаточно, чтобы все возможные угловые коэффициенты этих прямых были неотрицательны.
Если `x < -1`, получаем угловой коэффициент 7+3|a|-|a|-1 = -2а + 6.
Если `-1 le x lt -2/a`, то угловой коэффициент 7+3|a|-|a|+1 = -2а + 8.
Если `-2/a le x lt -5/a`, то угловой коэффициент 7-3|a|-|a|+1 = 4а + 8.
Если `x ge -5/a`, то угловой коэффициент 7-3|a|+|a|+1 = 2а + 8.
Получаем систему `{(6-2a ge 0),(8-2a ge 0),(4a+8 ge 0),(2a+8 ge 0),(a<0):}`, откуда `-2 le a lt 0`.
Поскольку нас интересует только наименьшее значение a случай a > 0 рассматривать не нужно.
Ответ: -2.
Найдите наименьшее значение параметра а, при котором функция `y = -7+3x-3|ax-1|+|ax-2|+|x-7|` является неубывающей на всей числовой прямой.
Функция `y = -7+3x-3|ax-1|+|ax-2|+|x-7|` определена при всех `x in RR`.
Предположим, что a < 0. На каждом из промежутков с границами 2/a; 1/a; 7 (в порядке возрастания) функция является линейной, и её график лежит на некоторой прямой.
Чтобы функция нигде не убывала, необходимо и достаточно, чтобы все возможные угловые коэффициенты этих прямых были неотрицательны.
Если `x < 2/a`, получаем угловой коэффициент 3+3|a|-|a|-1 = -2а + 2.
Если `2/a le x lt 1/a`, то угловой коэффициент 3+3|a|+|a|-1 = -4а + 2.
Если `1/a le x lt 7`, то угловой коэффициент 3-3|a|+|a|-1 = 2а + 2.
Если `x ge 7`, то угловой коэффициент 3-3|a|+|a|+1 = 2а + 4.
Получаем систему `{(2-2a ge 0),(2-4a ge 0),(2+2a ge 0),(4+2a ge 0),(a<0):}`, `{(a le 1),(a le 0.5),(a ge -1),(a ge -2),(a<0):}`откуда `-1 le a lt 0`.
Поскольку нас интересует только наименьшее значение a случай a > 0 рассматривать не нужно.
Ответ: -1.
Найдите наименьшее и наибольшее натуральные значения n, при которых уравнение `(x^2+y^2)^2010=x^n*y^n` имеет натуральные решения.
При любом n пара x = 1, y = 1 не является решением. Поэтому `(xy)^n = (x^2+y^2)^2010 ge (2xy)^2010 gt (xy)^2010`. Значит, n > 2010.
Предположим, что `x ne y`. Тогда найдется простое число p, такое что `x = p^k a`, `y = p^m b`, и числа a и b не делятся на p. Для определенности можно считать, что `k gt m ge 0`.
Тогда `(p^(2k) a^2 + p^(2m) b^2)^2010 = (p^(k+m)ab)^n`; `(p^(2(k-m)) a^2 + b^2)^2010 = a^nb^np^(n(k+m)-2m*2010)` (1)
Из условий n > 2010 и k > m получаем: n(k+m) - 2m*2010 = (nk-2010m) + m(n-2010) > 0 .
Значит, правая часть равенства (1) - целое число, которое делится на p. Левая часть на p не делится. Противоречие.
Пусть теперь x = y , тогда из равенства `(x^2+y^2)^2010 = (x^2)^n` получаем: `x^(n-2010) = 2^1005`. Откуда `x = 2^q = 0,1,2,...` и q(n - 2010) = 1005 .
Поэтому n - 2010 натуральный делитель числа 1005. По условию нас интересуют только наименьшее и наибольшее возможное значение n. Поэтому нужно взять n - 2010 = 1 и n - 2010 = 1005, откуда n = 2011 и n = 3015, При n = 2011 x = y = 2^1005, при n = 3015 x = y = 2.
Ответ: 2011, 3015
Критерии alexlarin.narod.ru/ege/2010/prob/240410/krit240...
По этому же адресу, iostatgrad.mioo.ru/ege10.pl , школьники могут узнать свои результаты
Решите систему уравнений `{(5*25^(tgx)+14*5^(tgx)-3=0),(sqrt(3y-y^2)+2sinx=0):}`
Сделаем замену `z = 5^(tgx)`. Из первого уравнения получаем: `5z^2+14z-3 = 0`. Корни уравнения: -3 или 1/5.
Уравнение `5^(tgx)=-3` не имеет решений, а из уравнения `5^(tgx)=1/5` получаем: `tgx = -1`.
Из второго уравнения следует, что `sinx le 0`. Следовательно, `x=-pi/4+2pin, n in ZZ` и `sin x = -sqrt(2)/2`.
Из второго уравнения находим: `sqrt(3y-y^2) = sqrt(2)`, откуда `y^2 - 3y + 2 = 0`.
Корни: y = 1 или y = 2.
Ответ: `(-pi/4+2pin;1); (-pi/4+2pin;2); n in ZZ`.
Решите систему уравнений `{(5*25^(tgy)+14*5^(tgy)-3=0),(sqrt(-3x-x^2)+2siny=0):}`
Сделаем замену `z = 5^(tgy)`. Из первого уравнения получаем: `5z^2+14z-3 = 0`. Корни уравнения: -3 или 1/5.
Уравнение `5^(tgy)=-3` не имеет решений, а из уравнения `5^(tgy)=1/5` получаем: `tgy = -1`.
Из второго уравнения следует, что `siny le 0`. Следовательно, `y=-pi/4+2pin, n in ZZ` и `sin y = -sqrt(2)/2`.
Из второго уравнения находим: `sqrt(-3x-x^2) = sqrt(2)`, откуда `x^2 + 3y + 2 = 0`.
Корни: x = -1 или x = -2.
Ответ: `(-1;-pi/4+2pin); (-2; -pi/4+2pin); n in ZZ`.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 3sqrt(2), а боковое ребро равно 5. Найдите угол между плоскостями ABC и ACM, где точка M делит ребро BS так, что BM:MS = 2:1.
Треугольники MSC и MSA равны, следовательно, МС = MA. Треугольник AMC равнобедренный. Проведем в этом треугольнике высоту MO. О - центр основания. Диагонали квадрата перпендикулярны, следовательно, ВО _|_ АС. Таким образом, искомый линейный угол - угол BOM.
В прямоугольном треугольнике SOB: `SO = sqrt(SB^2-BO^2) = sqrt(5^2-3^2) = 4`.
Проведем перпендикуляр МН к плоскости основания. `MH = 2/3SO = 8/3`. `OH = 1/3OB = 1`.
Из прямоугольного треугольника OHM находим: `tg /_MOH = (MH)/(OH) = 8/3`.
Ответ: `arctg 8/3`.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 6sqrt(2), а боковое ребро равно 10. Найдите угол между плоскостями ABC и ACM, где точка M делит ребро BS так, что BM:MS = 2:1.
Треугольники MSC и MSA равны, следовательно, МС = MA. Треугольник AMC равнобедренный. Проведем в этом треугольнике высоту MO. О - центр основания. Диагонали квадрата перпендикулярны, следовательно, ВО _|_ АС. Таким образом, искомый линейный угол - угол BOM.
В прямоугольном треугольнике SOB: `SO = sqrt(SB^2-BO^2) = sqrt(10^2-6^2) = 8`.
Проведем перпендикуляр МН к плоскости основания. `MH = 2/3SO = 16/3`. `OH = 1/3OB = 2`.
Из прямоугольного треугольника OHM находим: `tg /_MOH = (MH)/(OH) = 8/3`.
Ответ: `arctg 8/3`.
Решите неравенство `log_4(x+2)*log_x 2 le 1`.
Преобразуем неравенство: `(log_2(x+2))/(2log_2 x) le 1`, `log_x (x+2) le 2`
1 случай: `{(x+2 le x^2),(x gt 1):}`, `{(x^2-x-2 ge 0),(x gt 1):}`, откуда `x ge 2`.
2 случаи: `{(x+2 ge x^2),(0 lt x lt 1):}`, `{(x^2-x-2 le 0),(0 lt x lt 1):}`, откуда `0 lt x lt 1`.
Решение неравенства найдем, объединяя найденные промежутки: `(0;1) uu [2;+oo)`
Ответ: `(0;1) uu [2;+oo)`.
Решите неравенство `log_4 y*log_(y-2) 2 le 1`.
Преобразуем неравенство: `(log_2 y)/(2log_2 (y-2)) le 1`, `log_(y-2) y le 2`
1 случай: `{(y le (y-2)^2),(y-2 gt 1):}`, `{(y^2-5y+4 ge 0),(y gt 3):}`, откуда `y ge 4`.
2 случаи: `{(y ge (y-2)^2),(0 lt y-2 lt 1):}`, `{(y^2-5y+4 le 0),(2 lt y lt 3):}`, откуда `2 lt y lt 3`.
Решение неравенства найдем, объединяя найденные промежутки: `(2;3) uu [4;+oo)`
Ответ: `(2;3) uu [4;+oo)`.
Точка H - основание высоты треугольника со сторонами 10,12,14, опущенной на сторону, равную 12. Через точку H проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 10, в точке M. Найдите HM.
Пусть CH - высота треугольника ABC со сторонами AB = 12, AC = 10, BC = 14. По теореме косинусов `cos /_BAC = (AB^2+AC^2-BC^2)/(2AB*AC)=(144+100-196)/(2*12*10)=1/5`.
Из прямоугольного треугольника AHC находим, что `AH = AC cos /_BAC = 10*1/5 = 2`.
Заметим, что существует ровно два случая расположения точки М на стороне АС: либо /_AHM = /_ABC (рис. 1), либо /_AHM = /_ACB (рис. 2).
В первом из этих случаев HM||BC, треугольник AHM подобен треугольнику ABC с коэффициентом AH:AB = 2/12 = 1/6, следовательно, HM = BC * 1/6 = 14 * 1/6 = 7/3.
Пусть теперь /_AHM = /_ACB. Тогда треугольник AMH подобен треугольнику ABC, причем коэффициент подобия равен AH:AC = cos /_BAC = 1/5, следовательно, HM = BC * 1/5 = 14*1/5 = 14/5.
Ответ: `7/3` или `14/5`
Площадь трапеции ABCD равна 240. Диагонали пересекаются в точке О, отрезки, соединяющие середину P основания AD с верщинами В и С, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь четырехугольника OMPN, если одно из оснований трапеции втрое больше другого.
Пусть AD = 3BC (рис. 1). Положим BC = a, AD = 3a, OC = x. Треугольник COB подобен треугольнику AOD с коэффициентом BC:AD = 1:3, a треугольник CMB подобен треугольнику AMP с коэффициентом BC:AP = a/(3a/2) = 2/3, поэтому: OA=3x, AC=OA+OC=3x+x=4x, MC=2/5 * 4x=8/5 x, OM = MC-OC = 8/5 x - x = 3/5 x, значит, OM/OA = (3/5 x)/(3x) = 1/5. Аналогично, ON/OD = 1/5.
Пусть h - высота трапеции. Тогда (a+3a)/2 h = 2ah = 240, ah=120, S_{AOD} = 1/2 * 3a * 3/4 h = 9/8 ah = 135, S_{DNP} = S_{AMP} = AM/AO * AP/AD * S_{AOD} = 4/5 * 1/2 * 135 = 54.
Следовательно, S_{OMPN} = S_{AOD} - S_{DNP} - S_{AMP} = 135 - 54 - 54 = 27.
Рассмотрим случай, когда BC=3AD (рис. 2). Положим BC = 3a, AD = a, AM = t. Треугольник AOD подобен треугольнику COB с коэффициентом AD/BC = 1/3, а треугольник AMP подобен треугольнику CMB с коэффициентом AP/BC = (a/2)/3a = 1/6, поэтому MC = 6t, AC = AM + MC = 6t+t = 7t, OA = 1/4 АС = 1/4 * 7t = 7/4 t, значит, AM/AO = t/(7/4 t) = 4/7. Аналогично, DN/DO = 4/7.
Пусть h - высота трапеции. Тогда (a+3a)/2 h = 2ah = 240, ah = 120, S_{AOD} = 1/2 a*1/4 h = 1/8 ah = 15, S_{DNP} = S_{AMP} = AM/AO * AP/AD S_{AOD} = 4/7 * 1/2 * 15 = 30/7.
Следовательно, S_{OMPN} = S_{AOD} - S_{DNP} - S_{AMP} = 15 - 30/7 - 30/7 = 45/7.
Ответ: 27 или 45/7.
Найдите наименьшее значение параметра a, при котором функция `y = 9+7x-3|ax+2|+|ax+5|+|x+1|` является неубывающей на всей числовой прямой.
Функция `y = 9+7x-3|ax+2|+|ax+5|+|x+1|` определена при всех `x in RR`.
Предположим, что a < 0. На каждом из промежутков с границами -1; -2/a; -5/a (в порядке возрастания) функция является линейной, и её график лежит на некоторой прямой.
Чтобы функция нигде не убывала, необходимо и достаточно, чтобы все возможные угловые коэффициенты этих прямых были неотрицательны.
Если `x < -1`, получаем угловой коэффициент 7+3|a|-|a|-1 = -2а + 6.
Если `-1 le x lt -2/a`, то угловой коэффициент 7+3|a|-|a|+1 = -2а + 8.
Если `-2/a le x lt -5/a`, то угловой коэффициент 7-3|a|-|a|+1 = 4а + 8.
Если `x ge -5/a`, то угловой коэффициент 7-3|a|+|a|+1 = 2а + 8.
Получаем систему `{(6-2a ge 0),(8-2a ge 0),(4a+8 ge 0),(2a+8 ge 0),(a<0):}`, откуда `-2 le a lt 0`.
Поскольку нас интересует только наименьшее значение a случай a > 0 рассматривать не нужно.
Ответ: -2.
Найдите наименьшее значение параметра а, при котором функция `y = -7+3x-3|ax-1|+|ax-2|+|x-7|` является неубывающей на всей числовой прямой.
Функция `y = -7+3x-3|ax-1|+|ax-2|+|x-7|` определена при всех `x in RR`.
Предположим, что a < 0. На каждом из промежутков с границами 2/a; 1/a; 7 (в порядке возрастания) функция является линейной, и её график лежит на некоторой прямой.
Чтобы функция нигде не убывала, необходимо и достаточно, чтобы все возможные угловые коэффициенты этих прямых были неотрицательны.
Если `x < 2/a`, получаем угловой коэффициент 3+3|a|-|a|-1 = -2а + 2.
Если `2/a le x lt 1/a`, то угловой коэффициент 3+3|a|+|a|-1 = -4а + 2.
Если `1/a le x lt 7`, то угловой коэффициент 3-3|a|+|a|-1 = 2а + 2.
Если `x ge 7`, то угловой коэффициент 3-3|a|+|a|+1 = 2а + 4.
Получаем систему `{(2-2a ge 0),(2-4a ge 0),(2+2a ge 0),(4+2a ge 0),(a<0):}`, `{(a le 1),(a le 0.5),(a ge -1),(a ge -2),(a<0):}`откуда `-1 le a lt 0`.
Поскольку нас интересует только наименьшее значение a случай a > 0 рассматривать не нужно.
Ответ: -1.
Найдите наименьшее и наибольшее натуральные значения n, при которых уравнение `(x^2+y^2)^2010=x^n*y^n` имеет натуральные решения.
При любом n пара x = 1, y = 1 не является решением. Поэтому `(xy)^n = (x^2+y^2)^2010 ge (2xy)^2010 gt (xy)^2010`. Значит, n > 2010.
Предположим, что `x ne y`. Тогда найдется простое число p, такое что `x = p^k a`, `y = p^m b`, и числа a и b не делятся на p. Для определенности можно считать, что `k gt m ge 0`.
Тогда `(p^(2k) a^2 + p^(2m) b^2)^2010 = (p^(k+m)ab)^n`; `(p^(2(k-m)) a^2 + b^2)^2010 = a^nb^np^(n(k+m)-2m*2010)` (1)
Из условий n > 2010 и k > m получаем: n(k+m) - 2m*2010 = (nk-2010m) + m(n-2010) > 0 .
Значит, правая часть равенства (1) - целое число, которое делится на p. Левая часть на p не делится. Противоречие.
Пусть теперь x = y , тогда из равенства `(x^2+y^2)^2010 = (x^2)^n` получаем: `x^(n-2010) = 2^1005`. Откуда `x = 2^q = 0,1,2,...` и q(n - 2010) = 1005 .
Поэтому n - 2010 натуральный делитель числа 1005. По условию нас интересуют только наименьшее и наибольшее возможное значение n. Поэтому нужно взять n - 2010 = 1 и n - 2010 = 1005, откуда n = 2011 и n = 3015, При n = 2011 x = y = 2^1005, при n = 3015 x = y = 2.
Ответ: 2011, 3015
-
-
04.11.2011 в 13:31-
-
17.04.2015 в 17:28-
-
13.04.2016 в 21:30