Олимпиада "Ломоносов" по математике

[Andrstar]

Олимпиада "Ломоносов" - 2010 по математике


1
`(sqrt(3) - sqrt(2))^((log_2 3)^(4-x^2)) <= (sqrt(3) + sqrt(2))^(-(log_3 2)^(2x-1))`
2.
В треугольнике АВС АВ=ВС. Точка Е принадлежит АС, DE||BC, FE||AB, D и F принадлежат АВ и ВС соответственно. Найти отношение площади треугольника DEF к площади треугольника АВС, если BF:EF=3:2
3.
Два вкладчика вложили деньги в общее дело. Затем один из них вложил еще 1 млн.руб, его доля возросла на 0,04. Затем он опять вложил 1 млн.руб., доля возросла на 0,02. Найти, сколько еще требуется вложить, чтобы доля этого вкладчика возросла еще на 0,04.
4
`1/sqrt(-x-2)-1/sqrt(x+4)<=1+1/sqrt((-x-2)(x+4))`

5.
54 и 128 - члены геометрической прогрессии. Найти все возможные натуральные члены этой прогрессии
6
(возможно неточное)
Проекция некоторой кривой на плоскость OZX в пространстве задается уравнением `5x+cosz=0`, а на плоскость OYZ уравнением `z=arctg(sqrt(y-3))`. При этих условиях найти проекцию кривой на плоскость OXY.
7.
Найти все значения параметра, при которых система
`{(25^x-13*5^x+a < 0), (12sin^4(pi*x)-cos(4pi*x)=11):}`
имеет хотя бы одно решение.
8.
В треугольной пирамиде `SABC` на ребре `SA` взяты такие точки `M` и `N`, что `AN=NM=MS`
`S_(ABC)=1, S_(BNC)=2, S_(BSC)=sqrt(37)`. Найти `S_(BMC)`

9.
Дан квадратный трехчлен `x^2+9x+47`. Таня и Ваня играют в игру: Таня может за 1 ход увеличить или уменьшить (как ей захочется) коэффициент при `x^2` на 1, Ваня же - увеличить или уменьшить свободный член на число `m`. И так до бесконечности. Ваня получает оценку "пять", если у данного многочлена будут целые корни. Сможет ли Ваня при произвольных действиях Тани получить оценку "пять? При `m`равном а) 2; б) 3

10 (возможно неточное)
В трапеции `ABCD` О- точка пересечения диагоналей. Две окружности, касающиеся друг друга в точке О, пересекают прямую ВС в точках K и L. Также окружности касаются прямой AD в точках А и D сответственно. `AD=3,BC=1`
Найти `AK^2+LD^2`.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[Диана Шипилова]

Спасибо!

[l Shift->stop->end l]

Andrstar
Спасибо большое!
А ты участвовал?

[Andrstar]

Да.

[VEk]

Спасибо!

[Гость]

Andrstar Все решил?

[Robot]

Andrstar
Я вроде как набрала условия, проверь, пожалуйста.

[Andrstar]

Исправил, что не так.

[Robot]

А там на рисунке в системе с параметром был косинус в квадрате - он точно нужен без квадрата?

[Andrstar]

Да, точно.

[VEk]

Пока у меня получились такие ответы:
1) ` x in [-1-sqrt(6);-1+sqrt(6)]` 2) 6/25
5) 54, 72, 96, 128 6) `sqrt(y-2)*5x=1, x in [-1/5;1/5]` 7) `a<=13*sqrt(5)-5`
Andrstar А как у Вас?

[VEk]

Ответ в 4) `x in (-4;-3+sqrt((sqrt(5)-1)^3/2)]` Корень относится ко всей дроби.

[Andrstar]

1) Получилось почему-то всё наоборот: (-бесконечность;-1-sqrt(6)]V[-1+sqrt(6);+бесконечность)
2) 6/25
3) Совсем не уверен: то ли 10 млн.р., то ли 2 млн.р.
4) [-3;4) <- взял одз, так как не мог никак решить
5) Не знаю, как делать
6) z подставлял в первое уравнение, однако перепутал знак в формуле sin(arctg), из-за чего неверно вышло, обидно... Сейчас получилось 5x*sqrt(y-2)=-1 x in [-1/5;1/5]\{0}
7) x=1/2+k, из дискриминанта вытаскиваем, что a<=169/4, а из уравнения первого, подставив а - a>5^k*(5-13*sqrt(5)) Теперь по-идее надо выбирать k...
8) Не знаю, как делать
9) а)нет б)не решал
10) Не решал

[Robot]

Я в № 4 может делала нерационально: после приведения к общему знаменателю рассматривала два случая 1)`x in(-4;-3)` - неравенство выполняется при всех этих х
2)`x in [-3;-2)` возведение в квадрат
`-x^2-6x-8=1-(x+3)^2`
После возведения неравенство сводится
`4*sqrt(1-(x+3)^2)>=(x+3)^2`
Замена `a=(x+3)^2, a>= 0`
`4*sqrt(1-a)>=a`
`a^2+16a-16<=0`
`0<=a <=4*(sqrt(5)-2)`
Ну, и далее в реалиях второго случая
`-3 <=x<=-3+2sqrt(sqrt(5)-2]`
То есть окончательно у меня
`x in(-4,-3+2sqrt(sqrt(5)-2)]`
То есть что-то не такой ответ
Но поздно уже, так что могла и просчитаться.

2,5,7 ответы такие.

№3 решать не стала, так как не очень поняла на 0,04 процента или что.

И что-то в первом я, по-моему, дурю(((

[VEk]

Robot В 4-м ответ у нас с Вами совпал. `(sqrt(5)-1)^3=8(sqrt(5)-2)`
10) Если точки расположены в таком порядке B, K, L, C, то ответ: 15. Если же B, L, K, C, то у меня получилось `33-6*sqrt(5)`
1) Вчера совершил грубую ошибку. Ответ: `x in[-1;3]`

[VEk]

Andrstar В 6) я вчера тоже напутал. `z in[0;pi/2)`, поэтому cos(z)>0 и x<0. Ответ: `5x*sqrt(y-2)=-1, x in [-1/5;0)`

[к.черный]

VEk
вчера заробела, когда вы в первый раз ответ на (1) выложили, не стала возражать, с радостью сегодня подтверждаю, что ответ такой же [-1, 3]

[VEk]

к.черный Ночью на последнем шаге неверно записал одну из частей неравенства.
Но в целом мне олимпиада не понравилась. Много техники и мало идей

[Robot]

Ну, слава Богу, у меня тоже в первом [-1,3]
А Вы не подскажете идею решения № 6?

[VEk]

Robot Противная техническая задача. Из условия `z in [0;pi/2)`, поэтому `tgz =sqrt(y-3)`. Далее находим `cos z = 1/sqrt(y-2)` и подставляем этот результат в соотношение c x и z.
Номера 8 и 9 пока не решил, и что-то засомневался в ответе на 3) ( у меня получилось 8 млн. руб). В 3) действительно ответ: 8. Проверил

[к.черный]

да, такая, на первый взгляд, странная ситуация получается: уже на третий раз ему нужно внести в 8 раз больше, чтобы получить ту же самую прибавку в доле.
Их общий первоначальный капитал 2, у первого 1.76.
Решила "влоб", из первой системки нашла общий капитал, затем сумму первого, затем последнюю прибавку

[VEk]

к.черный Во второй раз прибавка в 2 раза меньше

[к.черный]

я это учла

[VEk]

Задача 8.

Сечения выделены цветом. Рисунок несколько не соответствует реальному полученному результату.

[Robot]

VEk
Спасибо)

[LaBalance.]

VEk Cпасибо=)

[Robot]

Три варианта олимпиады Ломоносов - 2010

Взяты с ucheba.pro/

Можно скачать также в формате pdf с сайта www.alexlarin.narod.ru/index.html
www.alexlarin.narod.ru/olimp/lom2010.pdf

[VEk]

Robot Большое спасибо!

[Гость]

Кто-нибудь может подсказать метод решения в 6ой задаче? Первый раз такое встречаю!

[VEk]

Ответы в задаче 10 неверны. Вот исправленное решение.
Диагонали трапеции ABCD с основаниями `AD=3` и `BC=1` пересекаются в точке О. Две окружности, пересекающие основание ВС в точках К и L соответственно, касаются друг друга в точке О, а прямой AD - в точках A и D соответственно. Найти `AK^2+DL^2`. (ол-да «Ломоносов-2010», №10)
Ответ: 12
Указание. Восставим из точек A и D перпендикуляры к основанию `AD` и продолжим верхнее основание трапеции `BC` до пересечения с указанными перпендикулярами в точках `A_1` и `D_1` соответственно. Проведем также линию центров окружностей `O_1 O_2`. Пусть высота трапеции равна `H_t`, `AO_1=r`, `DO_2=R`, `OH=h` - расстояние от точки пересечения диагоналей до основания `AD`.
Очевидно, что `H_t=4/3 h` (треугольники, примыкающие к основаниям трапеции подобны).
Для решения задачи понадобятся два факта: `AD=2sqrt(Rr)` (доказывается с использование теоремы Пифагора) и `h=OH=2Rr/(R+r)` (доказательство через подобие треугольников).
Имеем `O_1 A_1=|H_t-r|`, `(A_1 K)^2=r^2-|H_t-r|^2`, `AK^2=H_t^2+A_1 K^2=2rH_t`. Аналогично `DL^2=2RH_t`. Значит, `AK^2+DL^2=2(R+r) H_t=2(R+r)*4/3*2Rr/(R+r)=4/3*AD^2=12`.

[Robot]

rghost.ru/5209205
Статья в МвШ