Периметр четырехугольника

[aalleexx]

Здравствуйте!
Есть такая вот задача
Вершины K, L, M, N четырехугольника KLMN лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD. Найти наименьший возможный периметр четырехугольника KLMN, если известно, что AK = 2 см, BK = 4 см и AN=ND.
Я ее решил, но через производную.
Может быть, кто-нибудь подскажет сходу короткий способ?
Это явно не новая задача, наверняка такое уже было.

@темы: Задачи на экстремум, Планиметрия

Comments

[noil]

Мне почему-то кажется, что должен быть вписан параллелограмм, но только кажется )))

[Teachermugege2009]

aalleexx, у Вас какой ответ получился ?

[Robot]

Мне кажется, что через неравенство между средним квадратическим и средним арифметическим.
Хотя там что-то не состыковывается, подумаю еще

[aalleexx]

Teachermugege2009, я окончательно периметр считал в Maple, там получается 18.45362405
BL=18/5, MD=10/3
Robot, сейчас попробую, спасибо

[Teachermugege2009]

aalleexx

я окончательно периметр считал в Maple, там получается 18.45362405

У меня получился меньше периметр 10+2*sqrt(13) = 17,211102550927...

[aalleexx]

Teachermugege2009 А отрезки BL и MD какие?
Извиняюсь, поправка в подсчетах ошибся
периметр 15.64714585
при
BL=9/4, MD=8/3

[Garryncha]

Неравенством треугольника решается, получается `sqrt(13) + sqrt(181)`.
Мы симметрично отображаем K относительно BC и N относительно CD, получим K1, N1.
Тогда длина ломаной KL1-L1M1-M1N равна длине ломаной K1L1-L1M1-M1N1.
Длина KN фиксирована, а длина K1L1-L1M1-M1N1 будет минимальной, когда K1, L1, M1, N1 лежат на одной прямой.

Извините за корявый рисунок. Подскажите, в чём удобно делать рисукни?

[Teachermugege2009]

Да, у меня ошибка.

[Robot]

Garryncha
Снимаю шляпу!

[Дилетант]

Garryncha
Ой, как красиво!

[aalleexx]

Garryncha, а Ваш ответ уже учитывает фиксированную сторону? У Вас там 17,... поллучается приблизительно? Метод хороший. Я в Кванте такое читал - там вообще квадрат вращают.

[Robot]

Дилетант
Ага!
Garryncha
pay.diary.ru/~eek/p0.htm#more6
Вот здесь есть программа GeoGebra (требует Яву)
И еще Живая геометрия.
Но дело не в качестве рисунка. Это ерунда!
Какой же ты молодец!

[Garryncha]

Robot, Дилетант, если такие люди шляпу снимают, мне лестно.:-))
Я начитался книжки Радемахера и Тёплица "Числа и фигуры", а там целых 2 пункта из 27 посвящены задаче Фаньяно поиска треугольника наименьшего периметра, вершины которого лежат на сторонах данного остроугольного треугольника.:-)
Вообще потрясающая книга, доставила наслаждение!:-)

[Robot]

aalleexx
Победа геометрии над алгеброй!)))

[aalleexx]

Robot Да, это точно! Но у меня почему-то периметр 15.64714585 получился... Сейчас поисщу ошибку. А способ - блеск, нечего сказать.

[Garryncha]

aalleexx, да, учитывает, слагаемое `sqrt(13)` как раз она даёт.
Robot, спасибо, пойду инструкцию к geometry sketchpad читать.:-)

[Teachermugege2009]

Garryncha

Я начитался книжки Радемахера и Тёплица "Числа и фигуры"
Вообще потрясающая книга, доставила наслаждение!:-)

Спасибо за прекрасный образец решения!
А поделиться этой книжкой в эл.виде (или ссылкой на нее) не могли бы?

[aalleexx]

Все нашлось, алгебра подтверждает геометрию
Garryncha , спасибо!

[Robot]

Teachermugege2009 Либген

[Garryncha]

Teachermugege2009, вот она на сайте МЦНМО (она и в сообществе есть, наверняка). На Озоне 200 рублей стоит, у меня бумажное издание 2007 г.

[Teachermugege2009]

Robot , спасибо!
И Вам, Garryncha , за ссылку спасибо!

[Гость]

width=400;height=400; setBorder(0); initPicture(-1,12,-1,12); axes(1, 1);stroke = "blue"; path([[0,0],[0,6],[6,6],[6,0],[0,0]]);stroke = "red";path([[0,10],[2,6],[6,2],[9,0]]);stroke = "green";path([[0,10],[9,0]]);stroke = "black";path([[0,10],[9,0]]);path([[0,2],[2,6]]);path([[3,0],[6,2]]); text([-0.5,-0.5], "A"); text([-0.5,6], "B"); text([6.5,-0.5], "D"); text([6.5,6.5], "C"); text([-0.5,2.0], "K"); text([3.0,-0.5], "N"); text([-0.5,10.0], "K1"); text([9.0,-0.5], "N1"); text([2.0,6.5], "L"); text([5.5,2.0], "M"); text([4.0,6.5], "L1"); text([6.5,3.5], "M1");

[Гость]

<div class="SVG">
width=400;height=400; setBorder(0); initPicture(-1,12,-1,12); axes(1, 1);stroke = "blue"; path([[0,0],[0,6],[6,6],[6,0],[0,0]]);stroke = "red";path([[0,10],[2,6],[6,2],[9,0]]);stroke = "green";path([[0,10],[9,0]]);stroke = "black";path([[0,10],[9,0]]);path([[0,2],[2,6]]);path([[3,0],[6,2]]); text([-0.5,-0.5], "A"); text([-0.5,6], "B"); text([6.5,-0.5], "D"); text([6.5,6.5], "C"); text([-0.5,2.0], "K"); text([3.0,-0.5], "N"); text([-0.5,10.0], "K1"); text([9.0,-0.5], "N1"); text([2.0,6.5], "L"); text([5.5,2.0], "M"); text([4.0,6.5], "L1"); text([6.5,3.5], "M1");
</div>

[Robot]

Гость
Очень красиво!
Но, на мой взгляд, этому очень долго надо учиться))
И жалко, что это видят только те, кто со скриптом=(

[Гость]

Но, на мой взгляд, этому очень долго надо учиться))

Ну не знаю... В firefox www1.chapman.edu/~jipsen/svg/asciisvgeditor.htm...
Сдвинуть начало координат. Указать диапазоны по осям. Построить несколько ломанных по координатам, поставить несколько букв. Спрятать оси.
Что в этом сложного? Отсутствие мышиного способа ввода? Так, весь вред от мышей. Все грызут...

И жалко, что это видят только те, кто со скриптом=(

Большее количество установок скрипта ... Меньше трафик ....

[Robot]

Будем осваивать)

[Гость]

Великолепное решение, подскажите где можно почитать о решение подобных задач!