помогите пожалуйста в исследовании функций

[18Lavinia]

Здраствуйте. Помогите пожалуйста в исследовании функций:
№1. просто проверить. y=x^2/(1+x^3)
1. D(y): (-оо;-1) U (-1;+оо)
x=-1 точка разрыва
2. y(-x)=x^2 / (1-x^3) функция ни четная и не ничетная
3. Асимптоты
а) x=-1 вертикальная асимптота
б) y=0 - горизонтальная асимптота
в)
к=0, наклонная асимптота вырождается в горизонтальную
4.y'=2x - x^4
y'=0 x=0 x=корень 3-ей степени (2). Ymin(o)=0 Ymax (корень 3-ей степени 2) = корень 3-ей степени (1/2)
5. y"=2x^6-14x^3+2
y"=0 x^6 -7x^3+1=0 нахожу через дискриминант x1,2= корень 3-ей степени (7+ - 3sqr(5)) / 2
на промежутках везде + (выпукла).

№2. тут тоже проверить (сильно сомневаюсь в правильности). y=x*2^x
1.D(y) R функция всюду непрерывна
2. функция ни четная и ни нечетная
3. Асимптота
а) вертикальных нет
б) горизонтальных нет, предел получился + - оо
в) наклонных нет, предел = оо, т.е к =оо
4. y'=2^x*ln2+x*2^x
y'=0 x= - ln2 Ymin (-ln2)= -ln2*2^(-ln2)
5. y" 2^x(ln^2 (2) + x*ln2 + 3/2)
y"=0
x= знак меняется с -на +. y=


№3 а тут проблемы в исследовании: y=1 + cos^4 (x)
1. D(y): R функция всюду непрерывна
2.функция четная
3. Асимптоты
а) вертикальных нет
нахождение наклонной и горизонтальной асимптоты вызвало затруднение, т.к не знаю как предел вычислить
4. y'=4cos^3x * (-sinx)
y'=0 cosx=0, x=pi/2 + pi*n sinx=0, x=pi*n Ymin(pi/2+pi*n)=1 Ymax(pi*n) =2
5. y"= 4cos^2 (x) * (3sin^2 (x) - cos^2 (x) )
y"=0 cosx=0, x=pi/2 + pi*n sinx=1/2, x =(-1)^n * pi/6 + pi*n
от pi/6 + pi*n до pi/2+pi*n вогнута, от -pi/2 +pi*n до pi/6 + pi*n выпукла

срок выполнения до 5 апреля.

@темы: Пределы, Производная, Исследование функций

Comments

[Robot]

В первом
не поняла, как вы получили такую производную, напишите подробнее. Ну, и втору. тоже
Вы там что-то откидываете, а этого делать нельзя


Во втором
Горизонтальные асимптоты у нас частный случай наклонных (при k=0)
Поэтому отдельно их находить смысла нет
При х →-∞ неопределенность вида ∞*0
Так что давайте аккуратно считать k,b при х→+∞ и х→-∞
Производную неправильно нашли
`y'=(x)'*2^x+x*(2^x)'`
Ну, и соответственно вторая

В третьем
асимптот не будет
k=0, но предела b не существует
Вам надо бы еще установить периодичность функции и и исследовать на отрезке длиной в период
cosx=0, x=pi/2 + pi*n sinx=0, x=pi*n
нужно установить точки минимума/максимума, промежутки возрастания/убывания

вторая производная - там будет еще `sinx=-1/2`


Для проверки можно воспользоваться программой GraphPlotter см эпиграф
www.diary.ru/~eek/p0.htm#more
Хэлп к ней www.diary.ru/~eek/p22791867.htm
Или там же в эпиграфе онлайн-построитель указан

[18Lavinia]

в первом.
в производных забыла знаменатели дописать: y'=( 2x(1+x^3)-3x^2*x^2 )/(1+x^3)^2 = (2x+2x^4-3x^4 )/ (1+x^3)^2= (2x-x^4)/(1+x^3)^2
y"=( (2-4x^3)(1+x^3)^2 - (2x-x^4)*2(1+x^3)*3x )/ (1+x^3)^4 = (1+x^3)(2+2x^3-4x^3-4x^6-12x^3+6x^6) / (1+x^3)^4 = (2x^6-14x^3+2)/(1+x^3)^3
с определением выпуклости,вогнутости ерунду какую-то сделала, не получилось определить

вторая.
а как находится неопределенность вида ∞*0 ?
исследование дальше

[Robot]

Насчет предела `x*2^x` при `x - > -оо` выложите отдельным постом
`1/ln2=log_2e`
Поэтому там уmin можно получше вычислить

Вторая производная вычислена неверно
(1+xln2)'
ln2- это константа, число

[18Lavinia]

получается уmin(-log_2 e)= -log_2 e *2^(-log_2 e)= -log_2 e * (-e) = e*log_2 e

y"=(2^x)'+ln2(x'*2^x + (2^x)'*x) = 2^x * ln2 + ln2(2^x+2^x *ln2 *x) = 2^x *ln2 +ln2*2^x + 2^x * x*ln2 = 2^x *ln2(2+x)
y"=0 x=-2

[Robot]

уmin(-log_2 e)= -log_2 e *2^(-log_2 e)= -log_2 e * (-e) = e*log_2 e

Там не минус е, e^(-1)
И ответ лучше так
y=-1/(eln2)
==
y'=2^x(1+xln2)
y''=(2^x)ln2(1+xln2)+2^x(1+xln2)'
Чему равно (1+xln2)'

[18Lavinia]

(1+xln2)' = ln2
потом получается 2^x * ln2 (2+xln2), x=-2/ln2

[Robot]

Да

[18Lavinia]

спасибо огромное!
а вот третья функция, правильно ли я делаю?

[Robot]

Я бы написала предварительно,что функция периодическая с периодом П и рассматривала только [0,П]
А уже общие выводы делала относительно всей числовой прямой
То есть, например, на (П/6, 5П/6) вторая производная положительная, функция выпукла вниз
Тогда вывод про всю функцию
На промежутках (П/6+Пк, 5П/6+Пк) функция выпукла вниз

[Гость]

помогите произвести полное исследование, воообще е получается ничего (x-1)^2\x^2

[Robot]

Гость, это чужой топик.
И здесь Вашу задачу никто не увидит и она не проиндексируется
Надо зарегистрироваться, вступить в сообщество (левый столбец меню) и создать свой топик (левый столбец меню - Написать в сообщество)
Инструкции
Обращение к Гостям