помогите пожалуйста с интегралом arctgxdx/(sqrt(1-x))

[reget]

помогите пожалуйста с интегралом arctgxdx/(sqrt(1-x))
на табличный интеграл не похож, пробовал решать вот так:

@темы: Интегралы

Comments

[_ТошА_]

ещё раз по частям

[reget]

u = sqrt(1-x); du = -dx/(2sqrt(1-x))
dv = dx/(1+x^2); v = arctgx

[_ТошА_]

ой, что-то я не доглядел, что там сокращается, щас

[_ТошА_]

Вы уверены в условии? Он плохо берётся, с комплдексными числами разве что

[reget]

не пойму где там сокращается

[reget]

Вы уверены в условии? Он плохо берётся, с комплдексными числами разве что
именно такой интеграл написан в задании. комплексные числа и интегралы, такие методы решения я ещё не слышал

[_ТошА_]

ну что же, очень печально.
я подумаю ещё, но не обещаю

[reget]

ну что же, очень печально.
про комплексные числа я знаю, а вот как с ними решать интегралы я не знаю
я подумаю ещё, но не обещаю
хорошо, заранее спасибо

[_ТошА_]

Вот так вот он берётся.
И первый шаг, как и у вас, ноо, не уверен, знаете ли вы это
www.wolframalpha.com/input/?i=int+arctg%28x%29d...

[reget]

И первый шаг, как и у вас, ноо, не уверен, знаете ли вы это
явно, я этого не знаю.
неужели других методов нет для решения данного интеграла?

[_ТошА_]

Ну, это вовсе неудивительно, интегралы забавная штука. Завтра подумаю, но, как мне кажется, он решается только так..

[reget]

Завтра подумаю, но, как мне кажется, он решается только так..
хорошо, заранее спасибо)

[Alidoro]

А разве нельзя сделать без выхода в комплексную область? Интеграл с радикалом - стандартная замена радикала на t. В знаменателе получается биквадратный многочлен. С нахождением (комплексных) корней проблем нет. Объединяем сопряженные корни и раскладываем знаменатель на два квадратных трехчлена. Коэффициенты у них, наверно, будут с иррациональностями, но они будут действительными. Потом раскладываем на простейшие, числители будут вида At+B. Дальше выделяем в знаменателе полный квадрат ил интегрируем. Конечно, это большая писанина, но принципиальных трудностей я здесь что-то не увидел.

Вольфрам применяет машинные алгоритмы и, возможно, для него проще сделать через комплексные числа. Причем, если нажать Show steps, то видно, что при разложении знаменателя он два корня объединил, а два корня оставил как есть. Но объединял он не с той целью, чтобы получились действительные коэффициенты, а чтобы в числителе после окончательного разложения был не линейный многочлен от t, а константа.



А если бы он сгруппировал корни по-другому, то получилось бы действительное разложение.

[Robot]

Alidoro
О, да! Аватар!
1 апреля!
А я и забыла!

[_ТошА_]

Alidoro ну так с комплексными всё равно ведь. Я похожим образом брал.

[Alidoro]

Я попробовал с помощью Вольфрама. Что-то так получается:
(1-u^2)+1 = (u^2 + sqrt(2(1+sqrt(2)))u+sqrt(2)) * (u^2-sqrt(2(1+sqrt(2)))u+sqrt(2))
Сложно конечно, но всё действительно.
Возможно ошибся где. Но сейчас времени нет, мне надо уезжать.

[_ТошА_]

Меня пугает мистер Бин

[Robot]

_ТошА_
Это на один день)))

[reget]

а без комплексных можно как-то решить?

[_ТошА_]

Читайте, что написал Alidoro

[Alidoro]

Давайте я сейчас аккуратно разложу знаменатель. Проверить разложение можно будет без знания комплексных чисел.



А теперь нужно раскладывать на простейшие дроби. Обозначьте многоэтажный радикал какой-нибудь буквой, чтоб сократить писанину, и применяйте метод неопределенных коэффициентов.

Не факт, что не существует какого-нибудь остроумного решения еще на этапе исходного интеграла. Но раз такое решение не найдено, то приходится идти таким сложным путем.

[reget]

спасибо всем, попробую решать как написал Alidoro

[reget]

Давайте я сейчас аккуратно разложу знаменатель. Проверить разложение можно будет без знания комплексных чисел.
хорошо