Есть задача: найти сумму квадратов первых n натуральных чисел.
Т.е. 1^2+2^2+3^2+...+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
Формула то давно известна, но её не нужно доказать М.М.И., а нужно вывести. Что делал я:
Рассмотрим вот что:
(n+1)^3 = n^3+3n^2+3n+1
(n-1+1)^3 = (n-1)^3+3(n-1)^2+3(n-1)+1
(n-2+1)^3 = (n-2)^3+3(n-2)^2+3(n-2)+1
(n-3+1)^3 = (n-3)^3+3(n-3)^2+3(n-3)+1
........
........
........
(1+1)^3 = 1+3+3+1
Сложим всё это получим:
(n+1)^3 = 1 +3(n+(n-1)+(n-2)+.....+1)+3(n^2+(n-1)^2+....+1^2)+n
Очевидно преобразование: (n+1)^3 = 1+3(n(n+1)/2)+3*S+n S - наша искомая сумма
Так вот вопрос таков: есть ли более красивое решение, а то тут как-то мудрёно. Понятно, что S выражается и всё приводится к нужной формуле.
Это я вывел, так как откуда-то помнится, что сумму арифметической прогрессии я когда-то вывел почти так же.
Срок: бессрочно