Планиметрия из Универсальные материалы для подготовки учащихся

[eek]

Авторы-составители: Высоцкий И. Р., Гущин Д. Д., Захаров П. И., Панферов С. В., Посицельский С. Е., Семенов А. В., Семенов А. Л., Семенова М. А., Смирнов В. А., Шестаков С. А., Шноль Д. Э., Ященко И. В.
Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИЛИ — М: Интеллект-Центр, 2010. — 96 с.

С4.1 Боковая сторона АВ трапеции АВСD равна l, а расстояние от середины CD до прямой АВ равно m. Найдите площадь трапеции.

Решение:
S(AMB)=(AB*MG)/2=(ml)/2
ММ1 – средняя линия трапеции АВСD. Введём обозначения: АD=a, ВС=b, BH=h.
BH1=HH1=h/2, где Н1 точка пересечения высоты ВН и ММ1
S(ABCD)=(a+b)h/2
S(MBC)=(1/2)b(h/2), S(AMD)=(1/2)a(h/2).
S(MBC)+ S(AMD)=(1/2)b(h/2)+(1/2)a(h/2)=(1/2) (a+b)h/2.
S(ABCD)=S(AMB)+ S(MBC)+ S(AMD)
S(ABCD)= (ml)/2+(1/2)S(ABCD)
S(ABCD)=ml

С4.2Диагонали АС и ВD трапеции АВСD пересекаются в точке Е. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника АЕD равна 9, а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1:3.
Решение:

AD=a, BC=b, H1H2=h, HH1=h1, HH2=h2.
Треугольник AED подобен треугольнику EBC по трём углам.
1. AD – нижнее основание трапеции (AD>BC).
a/b=ED/BE=h1/h2=3/1, b=a/3, h2=h1/3.
(ah1)/2=9, h1=18/a, h2=6/a, h=h1+h2=24/a
S(ABCD)=(a+b)h/2=((a+a/3)/2)*(24/a)=16
S(ABCD)=16
2. AD – верхнее основание трапеции.
a/b=ED/BE=h1/h2=1/3, b=3a, h2=3h1.
(ah1)/2=9, h1=18/a, h2=54/a, h=h1+h2=72/a
S(ABCD)=(a+b)h/2=((a+3a)/2)*(72/a)=144
S(ABCD)=144

C4.3. В треугольнике АВС угол А равен α, сторона ВС равна а, Н – точка пересечения высот. Найдите радиус окружности ВНС.
Решение:
В сообществе ранее (www.diary.ru/~eek/p84521974.htm) доказывалась лемма: Если Н- ортоцентр треугольника, то радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АВН, ВСН, АСН, равны между собой.
По теореме синусов для треугольника АВС R=ВС/(2 sin BAC)=а/(2sin &alpha.
По лемме R(BHC)= а/(2sin &alpha.

C4.4. В треугольнике АВС угол А равен α, сторона ВС равна а, J – точка пересечения биссектрис. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВJС.

S(BJC)=(1/2)ar, где r-радиус вписанной окружности треугольника АВС. Никак не получается выразить r. Намекните какой-нибудь способ. (Решение в комментах)

C4.5. На сторонах выпуклого четырёх угольника АВСD, площадь которого равна единицы, взяты точки К на АВ, L на ВС, М на СD и N на DА. При этом АК/КВ=2, ВL/LC=1/3, CM/MD=1, DN/NA=1/5. Найти площадь шестиугольника AKLCMN.

Решение:
S(АВСD)=1
S(ABCD)=(1/2)BA*BC*sin B+(1/2)DA*DC*sin D
S(AKLCMN)= S(ABCD)-S(KBL)-S(NDM)=1-(1/2)BK*BL*sin B-(1/2)DN*DM*sin D=
1-(1/2)(1/3)BA(1/4)BC sin B -(1/2)(1/6)DA(1/2)DC sin D=1-(1/12)((1/2)BA*BC*sin B+(1/2)DA*DC*sin D)=1-1/12=11/12
S(AKLCMN)=11/12

C4.6. Около трапеции АВСD описана окружность радиуса 6 с центром на основании AD. Найдите площадь трапеции, если основание ВС равно 4.

Решение:
AD=2R=12, ВС=4.
ОН – высота трапеции. Треугольник ОВС равносторонний. ОН – высота и медиана ОВС. НС=ВС/2=2.
По теореме Пифагора для треугольника ОНС находим ОН=4√2
S(ABCD)=32√2

C4.7. В треугольнике АВС, площадь которого равна S, биссектриса СЕ и медиана ВD пересекаются в точке F. Найдите площадь четырёхугольника АDEF, если ВС=а, АС =b.

Решение:

C4.8. В трапеции АВСD биссектрис угла А пересекает боковую сторону ВС в точке Е. Найдите площадь треугольника АВЕ, если площадь трапеции равна S, АВ=а, AD=b, CD=c, c меньше a.

C4.9. Найдите площадь треугольника АВС, если АС=3, ВС=4, а медианы, проведённые из вершин А и В, перпендикулярны.

Решение:
1. S(ABC)=S(CA1B1)+S(ABA1B1) (*)
2. Треугольники и АВС подобны, так как А1В1- средняя линия, коэффициент подобия к=1/2
S(СА1В1)/ S(ABC)=1/4,
S(СА1В1) =(1/4) S(ABC) (1)
3. О – точка пересечения медиан, она делит медиану в отношении 2:1, начиная от вершины.
ОА1=х, ОА=2х, ОВ1=у, ОВ=2у, ВА1=2, АВ1=3/2
Треугольники АОВ1 и ВОА1 прямоугольные в них выполняется теорема Пифагора.

S(ABA1B1)=S(ABB1)+S(ВВ1А1)=(1/2)АА1*ВВ1=(3/4)√ 11
4. Подставляем (1) и (2) в (*), получаем S(АВС)= √11

С4.10. Найти площадь общей части двух ромбов, диагонали которых равны 2 и 3, а один ромб поучен из другого поворотом на 90 градусов вокруг его центра.

Решение:
Опускаю доказательство, что фигура симметрична и что S=8*S1, где S – искомая площадь, а S1 – площадь треугольника ОМВ
S(ОМВ)=(1/2)ОВ*МН=(1/2)*1*МН=МН/2
Из доказательства симметричности получим, что ОМ – биссектриса угла АОВ, тогда треугольник ОНМ равнобедренный, ОН=х, МН=х, ВН=1-х
tg АВО=АО/ОВ=3/2, tg АВО= tg МВН=МН/НВ=х/(1-х), х=3/5
S(ОМВ)=3/10
S=8*(3/10)=12/5