Решите в натуральных числах уравнение 1/m+1/n=1/25, где m < n.
Поскольку теор. базы в школе не дают, поэтому я выкладываю к задачам, которые мне показались интересными, собственные решения.
Довольно просто догадаться, что 1/25 = (25+1)/25*26 = 1/26 + 1/25*26. Будем искать другие решения.
Решение:
Ясно, что 1/m < 1/25, а значит m > 25. Обозначим m=25+k
1/(25+k) + 1/n = 1/25
n = ( 1/25 - 1/(25+k)^(-1) = 25*(25+k) / k = 625/ k + 25
Отсюда видим, что для всех k|625, n - целое, а также однозначно определяется m=25+k.
Делители числа 625 = 5^4: {1, 5, 25, 125, 625]
k=1 m=25+1=26 n=625+25=26*25 (наше частное решение)
k=5 m=25+5=30 n=125+25=150
k=25 m=25+25=50 n=25+25=50
Здесь и далее при ограничении в условии m < n, дают решения, которые не попадают под это условие, т.к. при k>25 m=25+k > n = 625/k + 25 (симметричные случаи, поскольку 625/k и k одновременно являются делителями числа 625 )
Ответ: 1/25 = 1/26 + 1/650 = 1/30+1/150.