Рассмотрим бесконечную последовательность натурального ряда чисел:
1, 2, 3, …,
Этот ряд можно рассматривать как ряд «развивающийся», «строящийся» по принципу n+1. Это означает, что каждое натуральное число может быть получено из предыдущего путем добавления к нему единицы. А можно рассматривать как «завершенный» ряд, заданный всеми своими членами одновременно.
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ — понятие о бесконечности, состоящее в рассмотрении бесконечной совокупности объектов, исходя из процесса построения этих объектов. Примером П. Б. может как раз служить бесконечность натурального ряда, рассматриваемого как процесс постепенного образования натуральных чисел путём перехода от п к п+1, начиная с нуля. Идея П. б. возникает в результате мысленного отвлечения от реальных препятствий к построению объектов, т. е. в результате применения абстракции потенциальной осуществимости. Бесконечно малые и бесконечно большие, лежащие в основе определения производной (как отношения бесконечно малых) и интеграла (как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых) и примыкающих сюда концепций математического анализа, должны восприниматься как «потенциальные».
АКТУАЛЬНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ (от позднелат. actualis — фактически существующий, настоящий) — понятие о бесконечности, состоящее в рассмотрении бесконечной совокупности объектов как завершённого объекта, независимо от процесса построения этих объектов. Мы имеем дело с А. Б., например, когда рассматриваем натуральный ряд так, как будто все натуральные числа даны нам одновременно, или когда рассматриваем геометрическую фигуру как бесконечное множество точек, например бесконечная совокупность точек отрезка предстает перед нами в законченном виде. А. б. имеет идеализированный характер, поскольку построение бесконечного числа отдельных объектов принципиально не может быть завершено. А. б. возникает результате мысленного отвлечения от этой незавершимости, т. е. в результате применения абстракции актуальной бесконечности.
В математической практике использование А. б. проявляется в том, что не делается принципиальных различий между конечными и бесконечными множествами. Последние рассматриваются таким образом, как будто все их элементы уже построены и даны нам одновременно.
Примеры таких объектов.
Бесконечно удаленная точка на прямой d рассматривается как особый постоянный объект, «присоединенный» к обычным конечным точкам.
При изучении действительных функций действительного переменного систему действительных чисел дополняют двумя «несобственными» бесконечно большими числами + оо и — оо. Тогда можно положить, что — оо< a <-оо для любого конечного a, и сохранить основные свойства неравенств в расширенной числовой системе.
По материалам Математической энциклопедии и Математического словаря
Более подробно о бесконечности:
А.П. Стахов Проблема бесконечности в математике
Л.Н.Победин О бесконечном
В. Губайловский Когда Ахиллес догонит черепаху?