1. Пусть $n$ $(n \geq 1)$ — целое число. Рассмотрим уравнение \[2 \cdot \left[\dfrac{1}{2 x}\right] - n + 1 = (n+1)(1-nx), \] где $x$ — неизвестная действительная переменная.
$a$) Решите уравнение при $n=8$.
$b$) Покажите, что существует целое число $n$, для которого уравнение имеет не меньше, чем 2021 решений.
(Для любого действительного числа $y$ через $[y]$ обозначается наибольшее целое число $m$ такое, что $m \leq y.$)
2. Для любого множества $A=\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right\}$, состоящего из пяти различных целых положительных чисел, обозначим через $S_{A}$ сумму его элементов, а через $T_{A}$ — количество троек $(i, j, k)$ с $1 \leqslant i < j < k \leqslant 5$, для которых $x_{i}+x_{j}+x_{k}$ делит $S_{A}$. Найдите наибольшее возможное значение $T_{A} .$
3. Пусть $A B C$ — остроугольный разносторонний треугольник, а $O$ — центр описанной около него окружности. Пусть $D$ — основание высоты, проведенной из $A$ к стороне $BC.$ Прямые $BC$ и $AO$ пересекаются в $E.$ Пусть $s$ — прямая, проведенная из $E$ перпендикулярно к $A O .$ Прямая $s$ пересекает $AB$ и $AC$ в $K$ и $L$, соответственно. Обозначим через $\omega$ окружность, описанную около треугольника $A K L .$ Прямая $A D$ пересекает ещё раз $\omega$ в $X$. Покажите, что $\omega$ и окружности, описанные около треугольников $A B C$ и $D E X$, имеют общую точку.
4. Пусть $M$ — некоторое подмножество множества $\{1,2,3, \ldots, 2021\}$, состоящего из 2021 чисел, такое, что для любых трёх элементов (не обязательно различных) $a, b, c$ из $M$ имеем $|a+b-c|>10.$ Найдите наибольшее возможное количество элементов $M.$
matol.kz