Математический конкурс в ЮУрГУ
Сайт: vk.com/konkursinsusu
Организатор: А. Эвнин (†19.11.2020)
Задания конкурса № 73
Задача 433. [Пять монет] Среди пяти монет одна фальшивая. Настоящие монеты одной массы, а фальшивая другой массы. Имеются чашечные весы, которые работают так: при равенстве масс взвешиваемых грузов любая из чашек может опуститься вниз; когда же массы различны, весы работают правильно. Придумайте, как с помощью таких весов гарантированно определить фальшивую монету и установить при этом, легче она или тяжелее остальных, а) за 11 взвешиваний, б) за 4 взвешивания.
Задача 434. [Правильные треугольники] ABC и ECD — правильные треугольники, M, N, K — соответственно середины отрезков BD, АС и CE. Докажите, что MKN — тоже правильный треугольник.
Задача 435. [Задача из ДВИ МГУ] В тетраэдре ABCD плоские углы при вершине D прямые. Точка H — основание высоты, опущенной из точки D на грань ABC. Площади треугольников ABH, BCH и CAH равны соответственно S3, S1, S2. Найдите объём тетраэдра.
Задача 436. [Функциональное уравнение] Найдите все непрерывные на R функции f(x) такие, что $\forall x\quad 3f(2x+1) = f(x) + 5x.$
Задача 437. [Задача из Туркмении] Пусть A — вещественная квадратная матрица, I — единичная матрица того же размера. Известно, что $det(A + I) \ge 0.$ Докажите, что $det(A^5 + I) \ge 0.$
Задача 438. [Поможет Чебышёв] Обозначим $S_n = \sum\limits_{p\le n} \frac1p,$ где сумма берётся по всем простым p, не превосходящим натурального числа n. Докажите, что для некоторого b > 1 и для всех $n\ge 3$ $S_n\le 2 + b \cdot \ln \ln n.$
Условие в формате pdf смотрите на указанном выше сайте.