Даны целое число $N \geq 2$ и первые члены последовательностей неотрицательных целых чисел $\mathbf a:$ $(a_1, \ldots, a_N)$ и $\mathbf b:$ $(b_1, \ldots b_N).$ Пусть для каждого целого положительного числа $i \not \in \{1, \ldots, N\}$ выполняются равенства $a_i = a_k$ и $b_i = b_k$, где $k \in \{1, ..., N\}$ и $i-k$ делится на $n.$ Скажем, что $\mathbf a$ является $\mathbf b$-гармонической, если каждое $a_i$ равно \( \frac{1}{2b_i+1} \sum\limits_{s=-b_i}^{b_i} a_{i+s}. \) Пусть последовательности $\mathbf a $ и $\mathbf b$ не являются постоянными, $\mathbf a$ является $\mathbf b$-гармонической и $\mathbf b$ является $\mathbf a$-гармонической. Докажите, что по крайней мере $N+1$ из чисел $a_1, \ldots, a_N,b_1, \ldots, b_N$ равно нулю.