Встаньте дети, встаньте в круг...

[eek]

Коллега подбросила интересную задачку...
Внутри круга `W` радиуса `R` произвольно выбран отрезок длины `R`. Этот отрезок является диаметром второго круга `w`. Найти вероятность того, что`w` полностью находится внутри `W`.

Немного поразмыслив пришёл к такому решению...

Немного поразмыслив пришёл к такому решению...

Во-первых, от радиуса ничего не зависит, поэтому будем считать `R = 2`...

Во-вторых, каждый круг `w` характеризуется центром - точка `M` ... а поскольку отрезки внутри `W` равновероятны, то вероятность появления "малого" круга, то есть круга с центром в точке `M`, пропорциональна дуге `A A'`, для которой диаметрально противоположная дуга `BB'` тоже лежит внутри `W`...

Таким образом, `M` - это двумерная случайная величина ... а вышеприведённое соображение определяет вид её плотности...

Геометрически нетрудно получить, что ....
1) при `OM = r < 1` круг `w` целиком лежит внутри `W`... то есть `L_{A A'} = pi`...
2) при `OM = r > sqrt{3}` у круга `w` ни один диаметр целиком на лежит внутри `W`... то есть `L_{A A'} = 0`...
3) при `OM = r in [1; sqrt{3}]` находим угол `phi` по теореме косинусов... `4 = 1 + r^2 + 2*r*cos(phi)`... откуда `L_{A A'} = 2*(pi/2 - phi) = 2*arcsin({3 - r^2}/{2*r})` ...

Следовательно, плотность имеет вид `f(M) = f(r) =C * {(1, 0 \le r < 1), (2/pi * arcsin({3 - r^2}/{2*r}), 1 \le r \le sqrt{3}), (0, sqrt{3} < r ):}` ...

Интеграл от плотности по всей плоскости должен равняться единице...`iint_{RR^2} f(M) dxdy = 1` ...
Переходя к полярным координатам получаем

`1 = int_{0}^{2*pi} int_{0}^{sqrt{3}} r * f(r) dr dphi = C * 2*pi * ( int_{0}^{1} r dr + int_{1}^{sqrt{3}} r * 2/pi * arcsin({3 - r^2}/{2*r}) dr ) = `

`= C * 2*pi * (1/2 + {r^2}/pi * arcsin({3 - r^2}/{2*r}) |_{1}^{sqrt{3}} - int_{1}^{sqrt{3}} {r^2}/pi * 1/{sqrt{1 - ({3 - r^2}/{2*r})^2}} * (-3/{2r^2} - 1/2) dr ) = `

`= C * int_{1}^{sqrt{3}} {2*r*(3 + r^2)}/{sqrt{4*r^2 - (3 - r^2)^2}} dr = C * I`

Сначала делаем замену `r^2 = z`... получаем ,что `I = int_{1}^{3} {3 + z}/{sqrt{4*z - (3 - z)^2}} dz` ...

Теперь выделяем под корнем полный квадрат и замена `t = 5 - z` ... тогда `I = int_{2}^{4} {8 - t}/{sqrt{16 - t^2}} dt = int_{2}^{4} {8}/{sqrt{16 - t^2}} dt - int_{2}^{4} {t}/{sqrt{16 - t^2}} dt`

Получили интеграл, который является суммой двух практически табличных интегралов ... дальнейшие подробности я тут уже не буду набирать...

Итого, `1 = C * ( {8*pi}/3 - 2*sqrt{3} )`... откуда находим `C` ...

Дальше всё прозаично... Интересует вероятность `P( r \le 1 ) = C * 2*pi * int_{0}^{1} r dr = {3*pi}/{8*pi - 6*sqrt{3}} ~~ 0.64`


Гложет червь сомнения... так что, если кто видит неточности или ошибки, то высказывайтесь, пожалуйста, по поводу этого варианта решения...