Доброго дня всем!
Застрял на решении начально-граничной задачи.
Помогите развеять недопонимание.
Имеется следующая задача:
`u_t - u = u_x_x +xt(2-t)+2cost, 0 < x < pi, t > 0`
`u(x,0) = cos(2x)`
`u_x (0,t) = t^2`
`u_x (pi, t) = t^2`
РешениеИзбавимся от неоднородности граничных условий:
`u = v+w,` где `w = xt^2`
Тогда исходная задача сведется к следующей:
`v_t - v = v_x_x + 2cost`
`v(x,0) = cos2x`
`v_x(0,t) = 0`
`v_x(pi,t) = 0`
Эту задачу средуцируем на две следующие:
`v = y + z`
`y:`
`y_t - y = y_x_x + 2cost`
`y(x,0) = 0`
`y_x(0, t) = 0`
`y_x(pi,t) = 0`
`z:`
`z_t - z = z_x_x`
`z(x, 0) = cos2x`
`z_x(0,t) = 0`
`z_x(pi, t) = 0`
Решим задачу для `z`:
`z = X(x)T(t)`
Тогда получим:
`(T')/ T - 1 = (X'')/ X = -lambda`
Отсюда получим спектральную задачу Штурма-Лиувиля:
`X'' + lambdaX = 0`
`X'(0) = 0`
`X'(pi) = 0`
решив которую получим, что:
`lambda_0 = 0, X_0 = 1`
`lambda_n = n^2, X_n = cosnx`
Тогда для `lambda_0 = 0` уравнение для `T`:
`T_0 = C_0 * e^t`
А для `lambda_n = n^2`:
`T_n = C_n * e^(1-n^2)`
А тогда:
`z = C_0 * e^t + sum_(n=1)^(oo) (C_n * e^((1-n^2)*t) * cosnx)`
Отсюда, вспоминая ряд Фурье, получаем, что:
`C_0 = 0`
`C_n = 1, n=2`
`C_n = 0, n !=2`
А тогда:
`z = e^(-3t)*cos2x`
И вот тут первый вопрос: я `C_0` правильно посчитал???
Вернемся к задаче для `y`:
`y = sum_(n=1)^(oo) (G_n(t)*cosnx)`
Тогда, подставив это выражение в уравнение:
`sum_(n=1)^(oo) (G'_n + (n^2-1)*G_n)*cosnx = 2*cost`
Тогда:
`2cost = sum_(n=1)^(oo) k_n*cosnx`
А тогда:
`k_n = (2 / (pi*n)) * int_0^pi (2cost*cosnx)dx = 0`
Вот это меня сильно смущает, что `k_n = 0`!Где я ошибся, скажите, пожалуйста?