Всем привет. Я почему-то вообще не могу понять доказательство из Фихтенгольца.
"Пусть f(x) определена и абсолютно интегрируема на `[A, B]`. Тогда пределы `lim_{p->\infty} int_{a}^{b} g(t) sin(pt) dt` и `lim_{p->\infty} int_{a}^{b} g(t) cos(pt) dt`
равномерно стремятся к нулю относительно переменных `a` и `b`, которые принимают произвольные значения в промежутке `[A, B]`"
"Доказательство. Достаточно рассмотреть первый из интегралов. Ввиду равномерной непрерывности функций
`int_{A}^{t} |g(t)| dt`
(тут не понял что это за вид интеграла такой. куда-то делся синус, и верхний предел теперь переменный...)
можно разбить по заданному `\epsilon > 0` промежуток `[A, B]` точками
`A = \tau_{0} < \tau_{1} < \dots < \tau_i < \tau_{i + 1} < \dots < \tau_n = B` (...и как это приводит сюда)
на столь мелки части, чтобы было
`int_{\tau_i}^{\tau_{i + 1}}|g(t)| dt < \epsilon`
Для интегралов вида
`int_{\tau_i}^{\tau_j}g(t)*sin(pt) dt` (1)
так как их конечное число можно установить общее `\Delta > 0`, такое, что для `p > \Delta` все они по абсолютной величине уже будут `< \epsilon`.
Но, как легко видеть (но я не вижу), интеграл
`int_a^b g(t) sin(pt) dt`,
каковы бы ни были `a` и `b`, разнится (при любом `p`) меньше, чем на `2\epsilon`, от одного из интегралов вида (1) (объясните, как это видно). Следовательно, при `p > \Delta` он независимо от `a` и `b` по абсолютной величине будет `< 3\epsilon`, что и требовалось доказать."
То есть в общем-то я не понял, зачем изначально такой интеграл рассматривается, без синуса. И все эти манипуляции с 2 и 3 эпсилон. Просто охота не тупо вызубрить и рассказать преподавателю. Охота понять действительно ли это так.
Пока что предположения такие. Рассматривается этот интеграл выше, так как просто тупо фиксируется нижняя граница, а верхняя, как и описано в теореме, может изменяться на `(A, B]`.