Такую вот задачу я получил на контрольной.
Разложить в ряд Фурье функцию `y = cos^7x` на промежутке `[-pi, pi]`
По логике, решение должно быть таким
`a_0 = 2/pi * int_{0}^{pi} cos^7x dx`
`a_n = 2/pi * int_{0}^{pi} cos^7x*cosnx dx`
`f(x) = a_0/2 + sum_{n = 1}^{\infty} a_n * cosnx`
Так, потому что функция четная. Но степень высоковатая и как такое интегрировать я что-то не в курсе. Понижать степень и перемножать с косинусом энного угла - не вариант.
Пробую ломать по-другому. Ну насколько я понимаю, надо представить косинус через формулу Эйлера. Выходит так
`cos^7x = ((e^{ix} + e^{-ix})/2)^7`
Ну предположим. То есть я как бы могу раскрыть такую скобку, используя или треугольник Паскаля или по хардовому - через Бином Ньютона, что честно говоря мне делать не очень охота. Поэтому использую треугольник Паскаля. 7 уровень треугольника Паскаля имеет коэффициенты `1,7,21,35,35,21,7,1`
Кроме того, мы знаем, что сможем в каждом множителе преобразовывать степени экспонент. Получается, что степени экспонент будут таковыми `7, 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7`
По итогу имеем
`1/128 * (e^{7ix} + 7e^{5ix} + 21e^{3ix} + 35e^{ix} + 35e^{-ix} + 21e^{-3ix} + 7e^{-5ix} + e^{-7ix})`
Группируем и возвращаем к стандартной записи
`1/64 * (cos(7x) + 7cos(5x) + 21cos(3x) + 35cos(x))`
Это все очень замечательно, но перемножать 4 слагаемых с косинусом nx как-то все равно долго. Есть пути короче? Тем более, насколько я понимаю, при перемножении двух косинусов получается сумма косинусов. При интегрировании косинусов получаются синусы. А синусы по таким пределам будут просто обнуляться. Получается, что разложение будет состоять только из `a_0`, НО невооруженным глазом видно, что по таким пределам косинус в любой степени будет обнуляться. Что-то прямо страшное происходит. Пока что думаю, что надо пойти почитать про самое начало разложения в ряд Фурье. Где был рассказ про базис, по которому раскладывается функция. Ортогональные системы функций, что-ли... Подскажите, что делать