Геометрия на ЕГЭ 2015

[eek]

Геометрия на ЕГЭ 2015

В кубе `ABCDA_1B_1C_1D_1` все рёбра равны 5. На его ребре `B B_1` отмечена точка `K` так, что `KB = 3`. Через точки `K` и `C_1` проведена плоскость $\alpha,$ параллельная прямой `BD_1`.
а) Докажите, что `A_1P: PB_1 = 1:2,` где `P` -- точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром `A_1B_1.`
б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью $\alpha.$
Ответ: `1075/9`.

В кубе `ABCDA_1B_1C_1D_1` все рёбра равны 4. На его ребре `B B_1` отмечена точка `K` так, что `KB=3`. Через точки `K` и `C_1` проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой `BD_1`.
а) Докажите, что `A_1P:PB_1=2:1`, где `P` -- точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром `A_1B_1`.
б) Найдите угол наклона плоскости $\alpha$ к плоскости грани `B B_1C_1C`.
Ответ: `arctg (sqrt17/3)`.

Основанием прямой четырёхугольной призмы `ABCDA_1B_1C_1D_1` является квадрат `ABCD` со стороной `3sqrt2,` высота призмы равна `2sqrt7.` Точка `K` -- середина ребра `B B_1.` Через точки `K` и `C_1` проведена плоскость $\alpha,$ параллельная прямой `BD_1.`
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.
б)Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью $\alpha.$
Ответ: 16.

В правильной четырёхугольной пирамиде `SABCD` все рёбра равны 5.
На рёбрах `SA,` `АВ,` `ВС` взяты точки `Р,` `Q,` `R` соответственно так, что `РА = AQ = RC = 2`.
а) Докажите, что плоскость `PQR` перпендикулярна ребру `SD`.
б) Найдите расстояние от вершины `D` до плоскости `PQR`.
Ответ: `7/2`.

В основании четырехугольной пирамиды `SABCD` лежит прямоугольник `ABCD` со сторонами `AB = \sqrt5` и `BC = 2`.
Длины боковых ребер пирамиды `SA = \sqrt7`, `SB = 2\sqrt3,` `SD = sqrt11`.
а) Докажите, что `SA` -- высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой `SC` и плоскостью `ASB`.
Ответ: `30^@`.

В основании четырёхугольной пирамиды `SABCD` лежит прямоугольник `ABCD` со сторонами `AB=8` и `BC=6`.
Длины боковых рёбер пирамиды `SA=sqrt21,` `SB=sqrt85,` `SD=sqrt57`.
а) Докажите, что `SA` --- высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми `SC` и `BD.`
Ответ: `arccos(14/55)`.

В основании четырёхугольной пирамиды `SABCD` лежит прямоугольник `ABCD` со сторонами `AB=4` и `BC=6`.
Длины боковых рёбер пирамиды `SA=3`, `SB=5`, `SD=3sqrt5`.
а) Докажите, что `SA` --- высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины `A` до плоскости `SBC`.
Ответ: `12/5.`

В правильной треугольной пирамиде `SABC` сторона основания `AB` равна 60, а боковое ребро `SA` равно 37. Точки `M` и `N` --- середины рёбер `SA` и `SB` соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую `MN` и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану `CE` основания в отношении `5:1`, считая от точки `C`.
б) Найдите расстояние от вершины `A` плоскости $\alpha$.
Ответ: `5\sqrt{3}`.

В правильной треугольной пирамиде `SABC` сторона основания `AB` равна 12, а боковое ребро `SA` равно 13. Точки `M` и `N` -- середины рёбер `SA` и `SB` соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую `MN` и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану `CE` основания в отношении `5:1`, считая от точки `C`.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды `SABC` плоскостью $\alpha.$
Ответ: 44.

В правильной треугольной пирамиде `SABC` сторона основания `AB` равна 6, а боковое ребро `SA` равно 4. Точки `M` и `N` --- середины рёбер `SA` и `SB` соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую `MN` и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану `CE` основания в отношении `5:1`, считая от точки `C`.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды `SABC` плоскостью $\alpha$.
Ответ: `8+2sqrt2`.

В правильной треугольной пирамиде `SABC` сторона основания `AB` равна 12, а боковое ребро `SA` равно 8. Точки `M` и `N` --- середины рёбер `SA` и `SB` соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую `MN` и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану `CE` основания в отношении `5:1`, считая от точки `C`.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка `C`, а основанием --- сечение пирамиды `SABC` плоскостью $\alpha$.
Ответ: `(80sqrt3)/3`.


Дана равнобедренная трапеция `ABCD` с основаниями `BC < AD`. Окружность с центром `O`, построенная на боковой стороне `AB` как на диаметре, касается боковой стороны `CD` в точке `P` и второй раз пересекает основание `AD` в точке `H`, точка `Q` --- середина `CD`
а) Докажите, что четырёхугольник `DQOH` --- параллелограмм.
б) Найдите `AD`, если `/_BAD=75^@` и `C=1`.
Ответ: 3.

К окружности, вписанной в квадрат `ABCD`, проведена касательная, пересекающая стороны `AB` и `AD` в точках `M` и `N` соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника `AMN` равен стороне квадрата.
б) Прямая `MN` пересекает прямую `CD` в точке `P`. В каком отношении делит сторону `BC` прямая, проходящая через точку `P` и центр окружности, если `AM:MB=1:3`?
Ответ: 1:3.

Окружность, построенная на медиане `ВМ` равнобедренного треугольника `ABC` как на диаметре, второй раз пересекает основание `ВС` в точке `К`.
а) Докажите, что отрезок `BK` втрое больше отрезка `CK`.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону `AB` в точке `N`. Найдите `AB`, если `BK = 18` и `BN = 17`.
Ответ: 18.

В прямоугольной трапеции `ABCD` с прямым углом при вершине `A` расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания `AD,` вторая --- боковых сторон, меньшего основания `BC` и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание `AD` в точке `P`. Докажите, что `(AP)/(PD)=sin D`.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны `4/3` и `1/3`.
Ответ: `116/7`.

В трапецию `ABCD` с основаниями `AD` и `ВС` вписана окружность с центром в точке `О`.
а) Докажите, что `sin /_AOD = sin /_BOC`.
б) Найдите площадь трапеции, если `/_BAD = 90^\circ`, а основания равны 5 и 7.
Ответ: 35.

Диагонали `AC` и `BD` четырёхугольника `ABCD`, вписанного в окружность, пересекаются в точке `P`, причём `BC=CD`.
а) Докажите, что `AB:BC=AP:PD`.
б) Найдите площадь треугольника `COD`, где `O` --- центр окружности, вписанной в треугольник `ABD, если дополнительно известно, что `BD` --- диаметр описанной около четырёхугольника `ABCD` окружности, `AB=5`, а `BC=5sqrt2`.
Ответ: `(25sqrt3)/2`.

Две окружности касаются внутренним образом в точке `A,` причём меньшая проходит через центр большей. Хорда `BC` большей окружности касается меньшей в точке `P`. Хорды `AB` и `AC` пересекают меньшую окружность в точках `K` и `M`соответственно.
а) Докажите, что прямые `KM` и `BC` параллельны.
б) Пусть `L` -- точка пересечения отрезков `KM` и `AP`. Найдите `AL`, если радиус большей окружности равен 26, а `BC = 48`.
Ответ: `2sqrt26`.

Две окружности касаются внутренним образом в точке `A`, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда `BC` большей окружности касается меньшей в точке `P`. Хорды `AB` и `AC` пересекают меньшую окружность в точках `K` и `M`.
а) Докажите, что `KM || BC`.
б) Пусть `L` --- точка пересечения отрезков `KM` и `AP`. Найдите `AL`, если радиус большей окружности равен 10, а `BC=16`.
Ответ: `sqrt10`.

Две окружности касаются внутренним образом в точке `K`, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда `MN` большей окружности касается меньшей в точке `C`. Хорды `KM` и `KN` пересекают меньшую окружность в точках `A` и `B`, а отрезки `KC` и `AB` пересекаются в точке `L`.
а) Докажите, что `CN:CM=LB:LA`.
б) Найдите `MN`, если `LB:LA=1:3`, а радиус меньшей окружности равен `3sqrt2`.
Ответ: 16.

Точка `M` лежит на стороне `BC` выпуклого четырёхугольника `ABCD`, причём `B` и `C` --- вершины равнобедренных треугольников с основаниями `AM` и `DM` соответственно, а прямые `AM` и `MD` перпендикулярны.
а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах `B` и `C` четырёхугольника `ABCD` пересекаются на стороне `AD`.
б) Пусть `N` --- точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника `ABCD`, если известно, что `MB:MC=1:3`, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых `AM`, `DM`, `BN` и `CN`, равна 18.
Ответ: 96.

Точка `M` лежит на стороне `BC` выпуклого четырёхугольника `ABCD`, причём `B` и `C` --- вершины равнобедренных треугольников с основаниями `AM` и `DM` соответственно, а `MA_|_MD`.
а) Докажите, что четырёхугольник `ABCD` --- трапеция или параллелограмм.
б) Найдите площадь треугольника `AMD`, если `BM:MC=1:2`, а площадь четырёхугольника `ABCD` равна 36.
Ответ: 16.