[eek]

Математика в школе, № 3^1,2

5453.
У царя Гиерона есть 11 слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, ..., 11 мин. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 мин. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток весит 1 мину. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?
%И.И. Богданов (Москва), К.А. Кноп (С.-Петербург)

5454.
Непустое множество `A \subseteq R` назовём заполненным, если для любых `x, y \in R` (не обязательно различных и не обязательно лежащих в `A`) таких, что `(x+y) \in A`, число `xy` также лежит в `A`. Найдите все заполненные множества.
%Н.X. Агаханов (Москва)

5455.
Каким может быть число `a>0`, если для некоторой строго убывающей функции `f: (0, +\infty) \to (0, +\infty)` и любого `x \in (0, +\infty)` выполняется неравенство `f(x) >= af(x + f(x))`?
%Ш.Н. Исмаилов (Ташкент, Узбекистан)

5456.
Каждая прямая, проходящая через пару смежных вершин `n`-угольника, содержит ещё хотя бы одну из его вершин. Каким наименьшим может быть число `n`?
%Е.В. Бакаев (Москва)

5457.
Докажите, что неравенство
`{n sqrt2} [n sqrt2] < 1/2`
имеет бесконечное множество натуральных решений (`{a}` и `[a]` -- дробная и целая части числа `a` соответственно).
%М. А. Муртузалиев, Ш.Г. Гамидов (Махачкала)

---------------------------------------
¹ vk.com/club1126038
² В журнале не указано, что некоторые задачи предлагались на областном этапе российской олимпиады.