Дано: `f: R^3 -> R, f(x)=4x_1-3x_2+x_3`;
`||x||` - евклидова. Найти `||f||`.
Решение:
1) Пусть `A` - линейный ограниченный оператор, `A: X->Y`. Норма оператора A `||A||` - это наименьшая константа `c`, для которой выполняется ` \exists c>0 \forall x in X ||Ax||_{y} <= c*||x||_{x}`;
2) `f`-линейный функционал, это очевидно и легко показать;
3) Докажем, что `f` - ограниченный, то есть `\exists c>0 \forall x in R^3 |f(x)|<=c*||x||`;
4) Пусть `x in R^3`.
Так как норма евклидова, то `||x||=sqrt(sum_{k=1}^{n} (x_k)^2 )`, таким образом мы должны прийти к тому, что `|f(x)|<=c*sqrt(sum_{k=1}^{3} (x_k)^2 ) = c* sqrt(x_1^2 + x_2^2 +x_3^2 )`;
Рассмотрим `|f(x)|=|4x_1-3x_2+x_3|<=4|x_1|+3|x_2|+|x_3|<=4(|x_1|+|x_2|+|x_3|) = 4*sum_{k=1}^{3} |x_k| `...
А вот с дальнейшей оценкой туговато... как можно прийти в итоге к `|f(x)| <= c* ||x||` ?