Является ли полным метрическое пространство `(X, rho)`, где `X=(0,1)` принадлежит `R`, где `R` - полное метрическое пространство, относительно метрики `rho(x, y) = |x-y|`.
Пространство` (X, rho)` называется полным, если всякая его фундаментальная последовательность сходится.
Пусть `{x_n(t)}` - произвольная фундаментальная последовательность из `X`. Покажем, что она сходится.
Так как `{x_n(t)}` фундаментальная, то по определению фундаментальной последовательности `rho(x_n(t), x_m(t)) -> 0`, при `m,n -> oo` для всех `t` из `(0,1)`.
Значит, `|x_n(t)-x_m(t)| -> 0`, при `m,n -> oo`. Устремим `m` к бесконечности, получим` |x_n(t)-x(t)| -> 0` для любого `t` из `(0,1)`, из чего следует, что
последовательность`{x_n(t)}` сходится к `x(t)`, следовательно метрическое пространство `(X, rho)` является полным.
Проверьте, пожалуйста, ход решения