Теория вероятностей III.

[eek]

Проверьте еще эти задания, пожалуйста. Завтра пересдача и, надеюсь, что они будут последними. Голова болит уже от этих вероятностей)
Еще был бы вам очень признателен, если бы мне еще немного помогли в моих предыдущих темах:

1 тема
2 тема

Задания, часть I:

1.1
В трех корзинках находятся пирожки. В первой корзинке - 3 из 10 пирожков с капустой, во второй один из 5, в третьей - 2 из 8. Случайным образом из одной из корзинок берется пирожок. Найти вероятность того, что это будет пирожок с капустой.
1.2
Вероятность выигрыша при покупке одного лотерейного билета равно 0.2. Какова вероятность того, что при покупке 8 лот. билетов, не менее двух будут с выигрышем.
2.1
В коробке из 10 конфет - 4 с ореховой начинкой. Случ. образом берется 2 конфеты. Найти ряд распределения, мат. ожидание и дисперсию дискретной случ. величины - числа взятых конфет с орех. начинкой. Построить график ф-ии распределения.
2.2
Время работы прибора до отказа - непрерыв. случ. величина, распределенная по показательному закону. Среднее время работы 500 часов. Найти вер-ь того, что прибор проработает более 1000 часов. Выписать ф-ию распределения случ. величины.

Решения, часть I:

1.1
`H_i = ` {вытащили пирожок с капустой из `i`-той корзины}
`P(H_i) = 1/3`
`P(A) = sum P(H_i) * (P(A|H_i)) = 1/3*3/10 + 1/3*1/5 + 2/8*1/3 = 1/4`

1.2
`A = ` { вытащено не менее 2 билетов с выигрышами }
`n=8, k=0,1`
`p=0.2, q=0.8`

`P(A) = 1 - [ P_8(0) + P_8(1) ] = 0.49678`

2.1

A = { вытащили конфету с ореховой начинкой }
`N = C_10^2`
`N(A) = C_4^2 + C_4^1`
`P(A) = (C_4^2 + C_4^1)/C_10^2 = ... = p_i`

`q_i = 1 - p_i`

`xi` | `0` | `1` | `2` | `3` | `4` |
`p` | `p_0`| `p_1` | `p_2` | `p_3`| `p_4` |

`p_0 = C_10^0 * p_i^0 * q_i^10`
`p_1 = C_10^1 * p_i^1 * q_i^9`
`p_2 = C_10^2 * p_i^2 * q_i^8`
`p_3 = C_10^3 * p_i^3 * q_i^7`
`p_4 = C_10^4 * p_i^4 * q_i^6`

`M_xi = np => 10 * p_i`
`D_xi = npq => 10* p_i * q_i`

Не стал считать сразу `p_i`, потому что не уверен...
Также не знаю как будет выглядеть график, с ними у меня всегда огромные проблемы.

2.2
Пользовался примером из Кремера, стр. 160

`M(x) = 1/lambda = 1/500`
`phi(x) = 1/500 * e^(-1/500 * x)`
`F(x) = 1 - e^(-1/500 * x), x>=0`

`P(x>1000) = 1 - P(x<=1000) = 1 - F(1000) = 1 - ( 1 - e^(-1000/500)) = e^-2 = 0.1353`

Задания, часть II:

1.1
Студент из 15 вопросов знает 8. Найти вер-ь того, что из билета который содержит 3 вопроса, он ответит не менее чем на 2 вопроса.
1.2
В магазин поступает партии яблок с 3 складов, причем с 1 склада магазин получает 50% яблок, со второго 20% и с третьего 30%. Процент некачественных яблок на 1 складе - 10%, на 2-ом - 5%, на 3-ем - 8%. Найти вер-ь того, что яблоко, купленное в магазине, окажется некачественным. Купленное яблоко оказалось некач. Найти вер-ь того, что оно поступило с 3 склада.
2.1
В урне из 4 шаров один черный. Человек достает шары(без возврата) до появления черного. Выписать ряд распределения дискрет. случ. величины `xi` - числа извлеченных шаров. Найти математич. ожидание и дисперсию, построить график ф-ии распределения `xi`.
2.2
Какую максимальную (по модулю) ошибку измерения можно допустить с вероятностью 0.95, если систематическая ошибка отсутствует, а среднеквадратическая ошибка равна 1.5мм. Ошибка измерений считается распределенной по нормальному закону.

Решения, часть II:

1.1
`N=C_15^3`
`N(A) = C_8^2 * C_3^1 + C_8^3 * C_3^0`
`P(A) = (C_8^2 * C_3^1 + C_8^3 * C_3^0)/C_15^3`

1.2
`H_i =` { выбрали `i` - тый магазин }
`A = ` { купленное яблоко некачественное }
`P(A|H_1) = 0.1`
`P(A|H_2) = 0.05`
`P(A|H_3) = 0.08`
`P(A) = 0.1 + 0.05 + 0.08 = 0.23`

`P(H_3|A) = (P(H_3) * P(A|H_3))/(P(A)) = (0.3 * 0.08)/0.23 = 0.1043`

2.1

`xi` | `1` | `2` | `3` | `4` |
`p` | `p`| `pq` | `pq^2` | `pq^3`|

`p=0.25, q=0.75`
`M_xi = 1/p = 4`
`D_xi = q/p^2 = 12`

График как будет выглядеть не знаю...

2.2
Использовал терминологию отсюда

`a=0`
`sigma = 1.5`
`+- alpha = ?`
`P(-alpha < X < alpha) = 0.95`
`0.95 = Phi((alpha - 0)/1.5) - Phi((-alpha - 0)/1.5)`

Как вычислить отсюда нужное мне `alpha` я не знаю.