День просветителя

[eek]

на ... вопрос о том, можно ли по способу Бельтрами осуществить в евклидовом пространстве на некоторой регулярной аналитической поверхности всю плоскость Лобачевского, надо ответить отрицательно Давид Гильберт. Основания геометрии

Сегодня отмечается день просветителя. То есть, в некотором роде, и меня )
По этому случаю оглашу сегодняшнего именинника.
Сегодня, 16 ноября, исполнилось 178 лет со дня рождения итальянского математика Эудженио Бельтрами.


Википедия
Эудженио Бельтрами (итал. Eugenio Beltrami; 16 ноября 1835, Кремона — 18 февраля 1900, Рим) — итальянский математик, известный своими работами по дифференциальной геометрии и математической физике. Сыграл значительную роль в признании неевклидовой геометрии.
1862 — профессор университета в Болонье, преподавал также в Пизе.
1873 — член Национальной Академии деи Линчеи в Риме, с 1898 года — президент Академии.
1873 — профессор университета в Риме.
Основные труды относятся к дифференциальной геометрии, в частности, показал, что геометрия Лобачевского на плоскости локально реализуется на некоторой поверхности в трёхмерном пространстве, называемой псевдосферой или поверхностью Бельтрами, а также установил факт, что любую линейчатую поверхность можно единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической (это утверждение известно как теорема Бельтрами). С его именем также связано доказательство свойства асимптотических линий поверхностей отрицательной кривизны, известного как теорема Бельтрами — Эннепера.

---

Кроме ссылок, это всё, что написано в Википедии. Но мы двинемся чуть дальше.
Сначала разберемся с линейчатыми поверхностями.
Линейчатая поверхность
В дифференциальной геометрии, линейчатая поверхность ― поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие, направляющей кривой. Если p(u) ― радиус-вектор направляющей, a m=m(v) ― единичный вектор образующей, проходящей через p(u), то радиус-вектор линейчатой поверхности есть
r=p(u)+vm(u),
где v ― координата точки на образующей.
Свойства

• Линейчатая поверхность характеризуется тем, что ее асимптотическая сеть ― полугеодезическая.

• Гауссова кривизна линейчатой поверхности `K <= 0`.

• Теорема Бельтрами. Линейчатую поверхность всегда можно и притом единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической.

• Теорема Бонне. Кроме того, если линейчатая поверхность F, не являющаяся развертывающейся, изгибается в линейчатую поверхность F', то либо их образующие соответствуют друг другу, либо обе они изгибаются в квадрику, на которой сеть, соответствующая семействам образующих, ― асимптотическая.

• Единственная минимальная линейчатая поверхность ― геликоид.

Линейчатый геликоид

• Линейчатая поверхность вращения ― однополостный гиперболоид, быть может вырождающийся в цилиндр, конус или плоскость.

Линейчатый гиперболоид

• Если все прямолинейные образующие линейчатой поверхности параллельны одной плоскости, то она представляет собой поверхность Каталана.

Еще картинки. Гиперболический параболоид

---

Поверхность Бельтрами (псевдосфера)
Псевдосфера (поверхность Бельтрами) — поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной.

Псевдосфера

Трактриса (линия влечения или линия погони) — (от лат. trahere — тащить) — плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.
Такую линию описывает предмет, волочащийся на верёвке длины a за точкой, движущейся по оси абсцисс. Трактриса также является кривой погони.

Трактриса

Псевдосфера впервые исследована Миндингом в 1839 — 1840 гг. В частности, им было показано, что понятия группы движений и конгруэнтных фигур имеют смысл лишь на поверхностях постоянной кривизны. Название «псевдосфера» поверхности дал Бельтрами. Он же обратил внимание на то, что псевдосфера реализует локальную модель геометрии Лобачевского, наряду с моделью Пуaнкаре и моделью Клейна.

---

Нашла ссылку на статью "Тороподобные поверхности" П.В. Путенихина. Полистайте! Любопытно.
Тороподобные поверхности