Начну с определений.
Кривые и фигуры постоянной ширины
читать дальшеКривая постоянной ширины a — плоская выпуклая кривая, длина ортогональной проекции которой на любую прямую равна a.
Иными словами, кривой постоянной ширины называется плоская выпуклая кривая, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно a — «ширине» кривой.
На картинке (кликабельно) представлены примеры таких кривых (и ими ограниченных фигур).
Фигурой постоянной ширины называется фигура, граница которой является кривой постоянной ширины.
Самой простой и "тривиальной" фигурой постоянной ширины является, конечно же, круг. Нетривиальные фигуры — многоугольники Рёло, изображенные на картинке выше. Об одной из них — треугольнике Рёло — я расскажу отдельно.
Свойства (весьма любопытные)
- Длина кривой постоянной ширины `a` равна `pi*a` (теорема Барбье).
- Центры вписанной и описанной окружностей в кривую постоянной ширины совпадают, а сумма их радиусов равна ширине кривой.
- Фигура постоянной ширины `a` может вращаться в квадрате со стороной `a` всё время касаясь каждой из сторон.
- Среди всех фигур данной постоянной ширины треугольник Рёло имеет наименьшую площадь, а круг — наибольшую.
- Любую плоскую фигуру диаметра `a` можно накрыть фигурой постоянной ширины `a`.
Центральная часть моего рассказа — треугольник Рёло.
читать дальшеЭто Франц Рёло, в честь которого названы все эти фигуры.
Вот буквально два предложения о нем из Википедии:
Занимался проблемами эстетичности технических объектов, промышленным дизайном. В своих конструкциях придавал большое значение внешним формам машин, за что Рёло при жизни называли «поэтом в технике».
Треугольник Рёло
Треугольник Рёло представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.
Построение треугольника Рёло
Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло.
Среди прочих фигур постоянной ширины треугольник Рёло выделяется рядом экстремальных свойств: наименьшей площадью, наименьшим возможным углом при вершине, наименьшей симметричностью относительно центра. Треугольник получил распространение в технике — на его основе были созданы кулачковые и грейферные механизмы, роторно-поршневой двигатель Ванкеля и даже дрели, позволяющие сверлить квадратные отверстия.
В Википедии очень интересная статья про треугольник Рёло. Я не буду ее цитировать полностью, но всем заинтересовавшимся рекомендую почитать. Сама же ограничусь только «популярной» составляющей.
Качение по квадрату
Любая фигура постоянной ширины вписана в квадрат со стороной, равной ширине фигуры, причём направление сторон квадрата может быть выбрано произвольно. Треугольник Рёло — не исключение, он вписан в квадрат и может вращаться в нём, постоянно касаясь всех четырёх сторон.
Качение треугольника Рёло по квадрату
Каждая вершина треугольника при его вращении «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах — там вершина описывает дугу эллипса. Центр этого эллипса расположен в противоположном углу квадрата, а его больша́я и малая оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны
`a*(\sqrt{3}\pm1)`,
где `a` — ширина треугольника. Каждый из четырёх эллипсов касается двух смежных сторон квадрата на расстоянии
`a * (1 - {\sqrt{3}}/2) = a * 0,13397...` от угла.
1. 2.
1. Эллипс (выделен красным цветом), очерчивающий один из углов фигуры (её граница выделена чёрным цветом), которую покрывает треугольник Рёло при вращении в квадрате. 2. Угол покрываемой вращением фигуры. Подписаны точки касания сторон квадрата с эллипсом. Светло-жёлтым показан не затронутый вращением угол квадрата.
1. Эллипс (выделен красным цветом), очерчивающий один из углов фигуры (её граница выделена чёрным цветом), которую покрывает треугольник Рёло при вращении в квадрате. 2. Угол покрываемой вращением фигуры. Подписаны точки касания сторон квадрата с эллипсом. Светло-жёлтым показан не затронутый вращением угол квадрата.
Центр треугольника Рёло при вращении движется по траектории, составленной из четырёх одинаковых дуг эллипсов. Центры этих эллипсов расположены в вершинах квадрата, а оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны `a(1+-1/sqrt(3))`
Траектория центра треугольника Рёло при вращении в квадрате.
Выделены точки сопряжения четырёх дуг эллипсов.
Для сравнения показана окружность (синим цветом), проходящая через эти же четыре точки
ПРИМЕНЕНИЕ
1. Сверление квадратных отверстий
Сверло с сечением в виде треугольника Рёло и режущими кромками, совпадающими с его вершинами, позволяет получать почти квадратные отверстия. Отличие таких отверстий от квадрата состоит лишь в немного скруглённых углах. Другая особенность подобного сверла заключается в том, что его центр при вращении не остаётся на месте, как это происходит в случае традиционных спиральных свёрл, а описывает кривую, состоящую из четырёх дуг эллипсов. Поэтому патрон, в котором зажато сверло, не должен препятствовать этому движению.
Впервые сделать подобную конструкцию удалось Гарри Уаттсу, английскому инженеру, работавшему в США. Для сверления он использовал направляющий шаблон с квадратной прорезью, в котором двигалось сверло, вставленное в «плавающий патрон». Патенты на патрон и сверло были получены Уаттсом в 1917 году. Продажу новых дрелей осуществляла фирма Watts Brothers Tool Works. Ещё один патент США на похожее изобретение был выдан в 1978 году.
Прочитать про это хорошо, но увидеть своими глазами еще лучше.
2. Двигатель Ванкеля
Другой пример использования можно найти в двигателе Ванкеля: ротор этого двигателя выполнен в виде треугольника Рёло. Он вращается внутри камеры, поверхность которой выполнена по эпитрохоиде. Вал ротора жёстко соединён с зубчатым колесом, которое сцеплено с неподвижной шестернёй. Такой трёхгранный ротор обкатывается вокруг шестерни, всё время касаясь вершинами внутренних стенок двигателя и образуя три области переменного объёма, каждая из которых по очереди является камерой сгорания. Благодаря этому двигатель выполняет три полных рабочих цикла за один оборот.
Двигатель Ванкеля позволяет осуществить любой четырёхтактный термодинамический цикл без применения механизма газораспределения. Смесеобразование, зажигание, смазка, охлаждение и пуск в нём принципиально такие же, как у обычных поршневых двигателей внутреннего сгорания
Схема работы двигателя Ванкеля
3. Каток
Для перемещения тяжёлых предметов на небольшие расстояния можно использовать не только колёсные, но и более простые конструкции, например, цилиндрические катки. Для этого груз нужно расположить на плоской подставке, установленной на катках, а затем толкать его. По мере освобождения задних катков их необходимо переносить и класть спереди. Такой способ транспортировки человечество использовало до изобретения колеса.
При этом перемещении важно, чтобы груз не двигался вверх и вниз, так как тряска потребует дополнительных усилий от толкающего. Для того, чтобы движение по каткам было прямолинейным, их сечение должно представлять собой фигуру постоянной ширины. Чаще всего сечением был круг, ведь катками служили обыкновенные брёвна. Однако сечение в виде треугольника Рёло будет ничуть не хуже и позволит передвигать предметы столь же прямолинейно.
Несмотря на то, что катки в форме треугольника Рёло позволяют плавно перемещать предметы, такая форма не подходит для изготовления колёс, поскольку треугольник Рёло не имеет фиксированной оси вращения.
(А вот это утверждение из Википедии опровергнуто настойчивыми инженерами-энтузиастами! Но об этом чуть позже.) Если признаться честно, сначала я увидела каток, и он потряс меня настолько, что из-за него я начала разбираться в матчасти и взялась за эту статью )
В Википедии еще можно узнать про:
4. Грейферный механизм
5. Крышки для люков
6. Кулачковый механизм
7. Плектр
8. Треугольник Рёло в искусстве
А также
9. Нечто из соотношения формы и цвета.
Всё это очень интересно и с картинками. Но просто нельзя объять необъятное (с).
А я вернусь к невозможности создать колесо в виде многоугольника Рёло. Действительно, как это сделать, если у него ось вращения сама вращается по четырем склеенным частям эллипса?
Однако в мире очень мало чего абсолютно невозможного. А условно невозможное... Ну, упорство и труд всё перетрут!
Сборка этого велосипеда с колесами в виде многоугольников Рело заняла у жителя Китая Гуаня Байхуа полтора года. Фото с сайта www.china.org.cn/china/photos/2009-05/07/conten...
Список источников
(Это не просто список использованных источников — ни один из них я не копировала полностью. Там осталось еще много чего интересного, что можно не только почитать, но и посмотреть! Не проходите мимо.)
1. Википедия. Кривая постоянной ширины
2. Википедия. Треугольник Рёло
3. school.xvatit.com Треугольник
4. Колеса с углами. Изобретаем велосипед
5. Элементы. Кривые постоянной ширины
6. Феномен круглого треугольника
7. Двигатель Ванкеля. Здесь просто изумительные картинки. Вот одна из них.