Линейная алгебра, линейные операторы

[eek]

Здравствуйте! Есть такие задания:
1. Линейный оператор `A` , действующий в `R^2` переводит вектора `bar(a)=(2,3)`,`bar(b)=(3,4)` соответственно в векторы `bar(c)=(1,1)`,`bar(d)=(2,2)`. Найти матрицу этого оператора в стандартном базисе.

Решение

2. Доказать линейность оператора `A` , найти его ядро и образ. Составить матрицу оператора `A` в базисе `P_1=((0,1), (0,0))`, `P_2=((1,1),(0,0))`, `P_3=((0,1),(0,1))`, `P_4=((1,1),(1,1))`.
`A(X)=X*P_1`

Решение

Проблема с базисом образа. Если использовать формулу `dim KerA+dim IM A=dimV`, тогда `dim IM A=2`. Но ведь ранг найденной матрицы равен одному, т.е должно быть`dim IM A=1`. Получается, что неправильно сделано что-то. Прошу разобраться, где же

3. Доказать линейность оператора `A` , найти его ядро и образ. Составить матрицу оператора `A` в базисе `f_1(x)=1+x`; `f_2(x)=x+x^2`; `f_3(x)=x+x^3`; `f_4(x)=x^3` пространства всех многочленов степени не выше 3 над `R`
`A(f(x))=f(x)-x*f'(0)`

Решение

Прошу проверить (особенно второе не ладится) и, если неправильно, помочь исправить.
Заранее спасибо за помощь!