[eek]

Олимпиада в Перу

ONEM 2012 - Первый этап - Третий уровень
Условия на испанском

1. Бочка с вином весит 265 кг. Наполненная наполовину бочка весит 160 кг. Сколько весит пустая бочка?
A) `40 kg` B) `45 kg` C) `50 kg` D) `55 kg` E) `60 kg`

2. Студент отвечал на вопросы теста, который состоял из трех частей. В первой части было 25 вопросов и он правильно ответил на 60% вопросов, во второй части было 30 вопросов и он правильно ответил на 70% вопросов, в третьей части было 45 вопросов и он правильно ответил на 80% вопросов. На какой процент вопросов от общего числа вопросов теста правильно ответил студент?
A) `68%` B) `70%` C) `72%` D) `74%` E) `76%`

3. У Хуана есть три монеты по S/. 2 и достаточно много монет по S/. 5. Какой счет он не сможет оплатить не получая сдачи?
A) `35` B) `36` C) `37` D) `38` E) `39`

4. Вычислите значение `(tan 35^o * tan 55^o * tan 60^o * tan 65^o)/(ctg 25^o * ctg 40^o * ctg 45^o * ctg 50^o)`
A) `sqrt(2)` B) `1` C) `sqrt(3)` D) `sqrt(2)/2` E) `sqrt(3)/3`

5. Какую цифру нужно удалить из числа 43620 для получения четырехзначного числа, кратного 105?
A) `4` B) `3` C) `6` D) `2` E) `0`

6. Дон Хосе имеет в своем хозяйстве уток и кроликов. При подсчете он понял, что разность количества кроликов и уток равна половине от общего числа животных. Каково отношение числа кроликов к количеству уток?
A) `3/2` B) `2` C) `5/2` D) `3` E) `4`

7. В прямоугольном треугольнике величины острых углов равны `theta` и `alpha`. Если `sin theta * tg alpha = 1/3`, то чему равно значение `ctg alpha`.
A) `sqrt(2)/2` B) `sqrt(2)` C) `2sqrt(2)` D) `2` E) `4`

8. Дан прямоугольный треугольник `ABC` с прямым углом `B`. Пусть `D` - основание высоты опущенной из точки `B` на гипотенузу `AC`. Если `BC = 2*AD`, то чему равно значение выражения `tg C * cos A`.

A) `1/4` B) `1/2` C)`1` D) `2` E) `4`

9. Поместите цифры 4, 5, 7, 8 в квадраты на рисунке (каждую цифру можно использовать только один раз), так чтобы частное являлось целым числом. Найдите сумму цифр этого частного.

A) 5 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9

10. Натуральные числа `a, b, c, d` удовлетворяют неравенствам `2a < b`, `3b < c` и `4c < d`. Найдите наименьшее возможное значение `d`.
A) `25` B) `29` C) `37` D) `39` E) `41`

11. Цифры `a, b, c, d` удовлетворяют равенству `(bar{aba})^2 = (bar{bc})^3`. Вычислите значение суммы `a + b + c`.
A) `16` B) `8` C) `15` D) `12` E) `18`

12. На встрече каждый участник или участница поздоровались не менее чем с двумя мужчинами и тремя женщинами. Чему может быть равно наименьшее количество участников встречи?
A) `8` B) `4` C) `6` D) `7` E) `5`

13. На рисунке нарисованы два куба, длина ребра большего куба равна 5 м и длина ребра меньшего куба равна 3 м. Кубы склеены и образуют новое тело. Художник хочет покрасить это тело (в том числе основание большого куба). Если одной банки с краской хватает для окраски ровно 1 кв. м. поверхности, то сколько банок краски потребуется художнику?

A) `170` B) `179` C) `186` D) `195` E) `204`

14. На рисунке показан прямоугольный треугольник, длины его катетов равны 6 см и 8 см. На проведенной к гипотенузе высоте выбраны две точки, расстояние между которыми равно `x`. Если сумма площадей заштрихованных областей составляет 19 кв. см., то чему равен `x`?

A) `1/2 cm` B) `1 cm` C) `2 cm` D) `sqrt(5) cm` E) `1/5 cm`

15. Для всех натуральных чисел `n` определим значение функции `f(n)` как наименьшее натуральное число, такое что `n * f(n)` является кратным 6. Например, `f(2) = 3` и `f(9) = 2`. Вычислите значение суммы `f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(99) + f(100)`.
A) `345` B) `357` C) `347` D) `356` E) `350`

16. `a` и `b` - различные действительные числа, удовлетворяющие равенствам: `a^2 - 1 = b` и `b^2 - 1 = a`. Вычислите `a^3 + b^3`.
A) `-2` B) `-1` C) `0` D) `1` E) `2`

17. Некоторые из клеток доски `4 times 4` должны быть окрашены. На рисунке показаны доска и числа, соответствующие количеству клеток, которые должны быть окрашены в соответствующей строке или столбце. Найдите наибольшее возможное значение `a + b`.

A) `4` B) `5` C) `6` D) `7` E) `8`

18. Величины углов остроугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, кроме того, основания его высот являются вершинами прямоугольного треугольника. Найти наибольший угол исходного треугольника.
Примечание: Пожалуйста, обратите внимание, что в любом треугольнике три высоты проходят через одну точку.
A) `75^o` B) `45^o` C) `80^o` D) `60^o` E) `85^o`

19. `a, b, c` - корни уравнения `x^3 + 3x^2 + 5x + 7 = 0`. P(x) - многочлен третьей степени, для которого `P(a) = b + c`, `P(b) = c + a`, `P(c) = a + b` и `P(a + b + c) = -16`. Найдите `P(0)`.
A) `-17` B) `11` C) `-14` D) `14` E) `-10`

20. Пусть `ABCD` - выпуклый четырехугольник с `/_ ABC = /_ BCD`, `AB = 6` и `CD = 8`. Известно, что на стороне BC существует точка `P`, такая что `/_ BAP = /_ PAD` и `/_ PDA = /_ PDC`. Найдите `BC`.
A) `4sqrt(3)` B) `10` C) `48/7` D) `8sqrt(3)` E) `14`

Продолжительность - 2 часа

---

Задания и ответы ONEM 2012