Добрый вечер.
Такое задание:
Дана квадратичная форма, которую нужно привести к каноническому виду и выписать базис, в котором квадратичная форма приведена к этому виду, считая, что исходная форма записана в стандартном базисе.
`Q(x)=x_1^2+2*x_2^2+2*x_3^2+2*x_1*x_2+2*x_1*x_3+4*x_2*x_3=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+x_3)^2=y_1^2+y_2^2`
Ну, во-первых, эта форма вроде вырожденной оказалась. Я это понимаю только на уровне того, что было три координаты: `x_1,x_2,x_3`, а после замены осталось две: `y_1,y_2`.
А как это более содержательно объяснить???
У нас есть координаты вектора в стандартном базисе: `x_1,x_2,x_3`. Мы эти координаты заменяем на другие: `y_1,y_2` уже в другом базисе, а вектор тот же должен остаться...так? И про этот самый другой базис и спрашивается?
И у меня получилось, что координаты в новом базисе выражаются через координаты старого базиса так:
`y_1=x_1+x_2+x_3`
`y_2=x_2+x_3`
Переход от координат в старом базисе к координатам в новом осуществляется с помощью матрицы `(А^-1)^Т`. Где А - это матрица перехода от старого базиса к новому. Эту матрицу нужно найти или нет?
Заранее спасибо за помощь!