Здравствуйте. Дана задача.
задача
Случайная величина Х задана функцией распределение:
`F(x)=`
`0`, при `x<=-pi/4`
`a*(cos(5x))^2`, при `-pi/4``<``x``<=``pi/3`
`1`, при `x>pi/3`
Найти среднеквадратическое отклонение `sigma(x)`
Как я решал
Найдем плотность (это первая производная от функции распределения):
`f(x)=`
`0`, при `x<=-pi/4`
`-5*a*sin(10x)`, при `-pi/4``<``x``<=``pi/3`
`0`, при `x>pi/3`
Найдем неизвестную a из уравнения:
`int_(-infty)^(-pi/4) 0*dx`+`int_(-pi/4)^(pi/3) (-5*a*sin(10x))*dx`+`int_(pi/3)^(+infty) 0*dx``=1`
`a=1/(int_(-pi/4)^(pi/3) (-5*sin(10x))*dx)=1/(-1/4)=-4`
Перепишем f(x)
`f(x)=`
`0`, при `x<=-pi/4`
`20sin(10x)`, при `-pi/4``<``x``<=``pi/3`
`0`, при `x>pi/3`
Найдем M(x) используя
`int_a^b x*f(x)*dx`
`M(x)=int_(-pi/4)^(pi/3) (20xsin(10x))*dx=pi/3-sqrt(3)/10+1/5=1,0739`
Найдем дисперсию по формуле:
`D(x)=int_a^b x^2*f(x)*dx-(M(x))^2`
`D(x)+(M(x))^2=int_(-pi/4)^(pi/3) (20x^2sin(10x))*dx=(1/25-2*x^2)*cos(10x)+2x*sin(10x)/5=0,3997`
`D(x)=0,3997-(1,0739)^2=-0,7536`
Все вычисления я делал на листике и проверял на wolframalpha.com
Укажите, пожалуйста, ошибки. Спасибо.