[eek]

Фигуры относятся друг к другу, как все их линии, взятые по любой регуле, а тела — как все их плоскости, взятые по любой регуле. Бонавентура Кавальери

Сегодня ровно 365 лет со дня смерти Бонавентура Франческо Кавальери
Пишу не в день рожденья по самому прозаическому поводу: день рожденья его неизвестен. Родился он в 1598 году в Милане.

Бонавентура Франческо Кавальери (итал. Bonaventura Francesco Cavalieri, лат. Cavalerius), (1598 — 30 ноября 1647) — итальянский математик, предтеча математического анализа, наиболее яркий и влиятельный представитель «геометрии неделимых». Выдвинутые им принципы и методы позволили ещё до открытия математического анализа успешно решить множество задач аналитического характера.

Полагаю, принцип Кавальери никому из читающих сообщество объяснять не понадобится. Но тем не менее, немного напишу про геометрию неделимых. А начну как всегда с биографии. На этот раз она не особенно драматична. Но и жил он недолго...

Биография
Кавальери родился в Милане, в раннем возрасте постригся в монахи. Изучал в Пизе математику под руководством приверженца и друга Галилея Бенедетто Кастелли. Через Кастелли Кавальери познакомился с Галилеем, жившим тогда в расположенной неподалеку Флоренции.
В конце 1621 года Кавальери уже значительно продвинулся в разработке метода неделимых, и в переписке с Галилеем он обсуждал вопрос допустимости разложения фигур на бесконечно малые элементы.
Когда в 1629 году освободилась кафедра математики в Болонье, Кавальери представил рукопись уже готового труда по геометрии неделимых. Кандидатуру его горячо поддержал Галилей, характеризовавший молодого учёного, как «соперника Архимеда».
Профессором Болонского университета Кавальери работал до конца жизни. Благоволивший ему римский папа Урбан VIII назначил его настоятелем монастыря.
Последние годы Кавальери были омрачены тяжёлой формой подагры, от которой он преждевременно скончался в возрасте 49 лет.
Кавальери принадлежат несколько трудов по тригонометрии, логарифмам, геометрической оптике и т. д., но главным делом его жизни был трактат «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного» (1635) и служащие её продолжением «Шесть геометрических этюдов» (1647).
В честь Кавальери назван кратер Cavalerius Aysa N0306 на Луне.

---

А вот учитель Кавальери Бенедетто Кастелли. Друг Галилея и учитель не только Кавальери, но и Торичелли.

Бенедетто Кастелли

---

МЕТОД НЕДЕЛИМЫХ

МЕТОД НЕДЕЛИМЫХ
Метод неделимых — возникшее в конце XVI в. наименование совокупности довольно разнородных приёмов вычисления площадей или объёмов фигур. Формализация этих приёмов во многом определила развитие интегрального исчисления.

Идея

Теоретическое обоснование нового метода нахождения площадей и объёмов предложил в 1635 году Кавальери. Он выдвинул следующий тезис:

Фигуры относятся друг к другу, как все их линии, взятые по любой регуле [базе параллельных], а тела — как все их плоскости, взятые по любой регуле.

Отсюда следует, что для нахождения отношения между двумя плоскими или телесными фигурами достаточно найти отношения между всеми неделимыми обеих фигур по какой-либо регуле. Впоследствии многие учебники геометрии включили в изложение «принцип Кавальери», который он сам формулировал так:

Объёмы (или площади) двух фигур равны, если равны между собой площади (или длины) всех соответственных их сечений, проведенных параллельно некоторой данной плоскости (или прямой).

Иллюстрация принципа Кавальери


Парадокс Кавальери

Математики сразу указали на возможность ошибочного применения метода неделимых; один из таких примеров привёл сам Кавальери в письме к Торричелли (см. рисунок). Треугольники ABD и BCD состоят из вертикальных неделимых, причём каждой неделимой левого треугольника (EF) можно взаимно-однозначно сопоставить неделимую той же длины (GH) правого треугольника. Отсюда, согласно принципу Кавальери, следует ошибочный вывод, что площади треугольников равны.
Тем не менее ясного правила для избежания ошибок Кавальери не дал.

---

Пример. Вычислим площадь круга. Формула для длины окружности: `L=2pi R` считается известной.
Разобьём круг (слева на рис. 1) на бесконечно малые кольца.

Рис. 1
Рассмотрим также треугольник (справа на рис. 1) с длиной основания `L` и высотой `R`, который тоже разобъём сечениями параллельно основанию. Каждому кольцу радиуса `r` и длины `L=2pi r` можно сопоставить одно из сечений треугольника той же длины. Тогда, по принципу Кавальери, их площади равны. А площадь треугольника найти несложно:
`S = (2 pi R * R)/2 = pi R^2`
Анимация примера:

Вся информация выше из Википедии, за что ей большое спасибо.
Там же можно найти еще один пример — уже для вычисления объема.

---

Вот памятник Кавальери в Милане:

Поскольку там стоит копирайт, то взято отсюда.