Задача: написать натуральное уравнение `tilde(k)(tilde(s))` эвольвенты кривой, если натуральное уравнение её эволюты имеет вид `k(s)=sqrt(as)` , где `a=const`.
Моё решение:
запишем уравнения эволют и эвольвент, если исходная кривая задана параметрически: `r=r(s)`
тогда `rho(s)=r(s)+1/(k(s))nu(s)` - уравнение эволюты, `xi(s)=r(s)+(c-s)tau(s)` -уравнение эвольвенты.
Продифференцировав уравнение эволюты, получим, что `d/(ds) rho(s) := tilde(tau)(s)=tau(s)-k*tau/k-(dk)/(ds)/k^2nu(s) ` `=>` `tilde(tau)(s)||nu(s)`
Продифференцировав уравнение эвольвенты, получим, что `d/(ds) xi(s):=check(tau)(s)=tau-tau+(c-s)knu``=>` `check(tau)(s)||nu(s)`
Получили, что, с точностью до нормы, `tilde(tau)(s)``=``check(tau)(s)`
Следовательно, касательная к эволюте у нас дана и имеет вид `tilde(tau)(s)=(sin(2/3*sqrt(a)*s^3/2);cos(2/3*sqrt(a)*s^3/2))`, и равна эвольвенте, и натуральные уравнения совпадают??
странный результат, не правда ли? или всё верно?