В СССР для учителей издавался методический журнал "Математика в школе". В каждом номере публиковались задачи для решения. Это были различные задачи, некоторые - очень простые, некоторые - сложные и очень сложные. Но многие из этих задач были доступны школьникам. Предлагаем Вам подборку задач по алгебре и тригонометрии. Все задачи взяты из журналов 1946 года. Нумерация задач (в скобках) соответствует публикациям в журнале. Две последние задачи в каждом разделе предлагались специально для школьников.
В основном эта подборка для нынешних школьников. Огромная просьба к взрослым посетителям сообщества: не публикуйте свои решения в этом топике.
Задачи по алгебречитать дальше1. (8) Решить уравнение `x^3 - 6x^2 + 12x - 10 = 0`.
2. (9) Определить значения коэффициентов a и b, при которых многочлен `x^4 + ax^3 + bx^2 - 8x + 4` является точным квадратом.
3. (10) Решить уравнение: `9x^4 - 12x^2 + 2 + sqrt(4 - 3x^2)=0`.
4. (11) Показать что при любых целых значениях x и у выражения `(x^3+y^3)/(x+y)` и `(x^3-y^3)/(x-y)` могут быть представлены в виде: `t^2 + 3u^2`, где t и u — целые.
5. (30) Решить уравнение: `x^6-17x^4-12x^3+33x^2+4x-1=0`.
6. (31) Найти арифметическую прогрессию, сумма n членов которой равна `n(2n +5)`.
7. (43) Доказать неравенство: `(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) > 16abc` при `a > 1`, `b > 1`, `c > 1`.
8. (48 ) Решить уравнение `x^3 + 4(x-1)^{3/2} + 3x^2 - 8x + 4 = 0`.
9. (49) Решить систему уравнений: `{(a (x + y - z) = x(y - z)), (b (y + z - x) = y(z - x)), ((a + b) (z + x - y) = z (x - y)):}`.
10. (50) Решить уравнение: `x^6 -6x^4 + x^3 + 9x^2 - 3x - 1 = 0`.
11. (51) Показать, что `5a^2 -6ab + 5b^2 > 0`, если только a и b одновременно не равны нулю.
12. (52) Решить уравнение `(x/(x+1))^2 + (x/(x-1))^2 = n(n-1)`
13. (8) Решить систему `{(x(x + y + z) = a),(y(x + y + z) = b),(z(x + y + z) = c):}`.
14. (9). Решить уравнение `8x^3+16x=9`.Задачи по тригонометриичитать дальше1. (12) Упростить выражение: `(sin alpha + cosec alpha)^2 + (cos alpha + sec alpha)^2 - (tg^2 alpha + ctg^2 alpha)`.
2. (13) Упростить выражение: `sin^6 alpha + cos^6 alpha + 3/4 sin^2 2a`.
3. (14) Решить уравнение: `sin^10 x + cos^10 x = a`. Определить значения a, при которых уравнение имеет действительные корни.
4. (15) Показать, что если `tg (alpha - beta) = (1-k)/(1+k) tg (alpha)`, то `sin(2alpha - beta) = k sin beta`.
5. (33) Решить уравнение: `ctg^3(x)+cosec^3(x) = 3`. И. Гохман (Одесса)
6. (38) Доказать, что если `sinx + siny = 2sin (x+y)` и `x+y != 2kpi`, то `tg (x/2) * tg(y/2) = 1/3`.
7. (39) Доказать тождество: `sin (2alpha) cos (30^@ + alpha/2) cos (30^@ - alpha/2) = cos (alpha) cos (alpha/2) sin ((3alpha)/2)`.
8. (6). Доказать, если `alpha`, `beta`, `gamma` - углы треугольника, то `tg(beta/2)tg(gamma/2) + tg(alpha/2)tg(gamma/2) + tg(beta/2)tg(alpha/2) = 1`.
9. (7) Чему равно выражение `(sin alpha + sin 2alpha + ... + sin nalpha)/(cos alpha + cos 2alpha + ... + cos nalpha)` ?
Для тех, кто не в курсе: `sec x=1/(cos x)`, `cosec x = 1/(sin x)`.Огромное спасибо коллеге, набравшему все приведенные тексты задач.