Олимпиада "Третье тысячелетие"

[eek]

Международная дистанционная математическая олимпиада школьников "Третье тысячелетие", в основном, сохраняет регламент и традиции популярных в конце 2-го тысячелетия Соросовских олимпиад. Единственное исключение: из-за отсутствия не только сверхбогатого, но и вообще какого бы то ни было спонсора, эта олимпиада проводится исключительно на общественных началах. Жюри в Петербурге готовит задачи и рассылает их электронной почтой кураторам и индивидуальным участникам, а кураторы на общественных началах организуют олимпиаду в своем городе, регионе, в одной школе или только для собственного ребенка. Координатор олимпиады - Федотов Валерий Павлович.
Олимпиада − письменная, индивидуальная, рассчитана на школьников 5-12 классов, участие в олимпиаде − БЕСПЛАТНОЕ. Работа (участника-ученика) может быть представлена как в электронном виде (завешена на персональном сайте или выслана электронной почтой), так и в традиционном (высылается обычной почтой).
Продолжительность олимпиады – 3 часа (= 180 минут =4 урока).

27 Янв, 2012 at 12:05 AM

Задачи для 5 класса 12-ой олимпиады "Третье тысячелетие"

1. На турнир приехали несколько команд с флагами своих провинций. Оказалось, что все флаги разные, каждый состоит из трёх горизонтальных полос одинаковой длины и ширины. Каждая полоса закрашена в жёлтый, красный или синий цвета, причём соседние полосы обязательно разные по цвету. Какое наибольшее число команд с такими флагами могло приехать на турнир?
2. Подберите подходящие 5 подряд идущих натуральных чисел и поставьте перед каждым из них знак + или - так, чтобы алгебраическая сумма оказалась равна 2012.
3. Алекс хочет измерить длину диагонали кирпича. Из измерительных инструментов у него есть только линейка, но зато он может взять несколько одинаковых кирпичей. Как можно это сделать и какое наименьшее число кирпичей ему придётся использовать?
4. Найдите наименьшее значение произведения (А-В)(А-С)(В-С) при условии, что А, В и С - чётные числа, причём A>B>C>2012.
5. Директор школы решил сравнить итоги выступления своих учеников на олимпиаде с соседями. Сначала он сосчитал, сколько процентов от числа участников олимпиады 5 класса стали дипломантами. Оказалось, что этот показатель в его школе на 20% выше, чем в соседней. Точно такая же разница в 20% получилась и при сравнении таких же показателей по 6, 7 и 8 классам. Однако когда директор сравнил такие же показатели сразу по всем участникам из 5-8 классов, то перевес в те же 20% оказался на стороне соседей. Как такое могло случиться?
6. Расставьте в клетках квадрата 5х5 различные натуральные числа так, чтобы сумма в каждой строке и в каждом столбце была равна 2012.

Задачи для 6 класса 12-ой олимпиады "Третье тысячелетие"

1. На турнир приехали несколько команд с флагами своих провинций. Оказалось, что все флаги разные, каждый состоит из трёх горизонтальных полос одинаковой длины и ширины. Каждая полоса закрашена в жёлтый, зелёный, красный или синий цвета, причём соседние полосы обязательно разные по цвету. Какое наибольшее число команд с такими флагами могло приехать на турнир?
2. Ритуал начинается с того, что шаман кладёт 1 камень в первое блюдце, 2 во второе и 3 в третье. Затем он тратит минуту на размышление, после чего перекладывает какой-то камень из одного блюдца в другое, но так, чтобы в разных блюдцах было разное число камней. Затем он тратит на размышление следующую минуту и снова перекладывает какой-то камень и т.д. Все камни и блюдца отличаются друг от друга. Начиная со второго перекладывания, запрещается возвращаться к уже пройденным раскладам камней. Как долго может продолжаться этот шаманский ритуал?
3. Алекс хочет измерить длину диагонали кирпича. Из измерительных инструментов у него есть только линейка, но зато он может взять несколько одинаковых кирпичей. Как можно это сделать и какое наименьшее число кирпичей ему придётся использовать?
4. Найдите наименьшее натуральное число, среди делителей которого есть 4 подряд идущих двузначных числа.
5. Директор школы решил сравнить итоги выступления своих учеников на олимпиаде с соседями. Сначала он сосчитал, сколько процентов от числа участников олимпиады 5 класса стали дипломантами. Оказалось, что этот показатель в его школе на 20% выше, чем в соседней. Точно такая же разница в 20% получилась и при сравнении таких же показателей по 6, 7 и 8 классам. Однако когда директор сравнил такие же показатели сразу по всем участникам из 5-8 классов, то перевес в те же 20% оказался на стороне соседей. Как такое могло случиться?
6. Расставьте в клетках квадрата 6х6 различные натуральные числа так, чтобы сумма в каждой строке и в каждом столбце была равна 2012.

Задачи для 7 класса 12-ой олимпиады "Третье тысячелетие"

1. На турнир приехали несколько команд с флагами своих провинций. Оказалось, что все флаги разные, каждый состоит из трёх горизонтальных полос одинаковой длины и ширины. Каждая полоса закрашена в жёлтый, зелёный, красный, синий или чёрный цвета, причём соседние полосы обязательно разные по цвету. Какое наибольшее число команд с такими флагами могло приехать на турнир?
2. Подберите подходящие 7 подряд идущих натуральных чисел и поставьте перед каждым из них знак + или − так, чтобы алгебраическая сумма оказалась равна 2012.
3. Алекс хочет измерить длину диагонали кирпича. Из измерительных инструментов у него есть только линейка, но зато он может взять несколько одинаковых кирпичей. Как можно это сделать и какое наименьшее число кирпичей ему придётся использовать?
4. Пусть S(n) − суммa цифр числa n. Найдите наименьшее натуральное число n, которое делится на 2012−S(n).
5. Директор школы решил сравнить итоги выступления своих учеников на олимпиаде с соседями. Сначала он сосчитал, сколько процентов от числа участников олимпиады 5 класса стали дипломантами. Оказалось, что этот показатель в его школе на 20% выше, чем в соседней. Точно такая же разница в 20% получилась и при сравнении таких же показателей по 6, 7 и 8 классам. Однако когда директор сравнил такие же показатели сразу по всем участникам из 5-8 классов, то перевес в те же 20% оказался на стороне соседей. Как такое могло случиться?
6. Расставьте в клетках квадрата 7х7 различные натуральные числа так, чтобы сумма в каждой строке и в каждом столбце была равна 2012.

Задачи для 8 класса 12-ой олимпиады "Третье тысячелетие"

1. На турнир приехали несколько команд с флагами своих провинций. Оказалось, что все флаги разные, каждый состоит из трёх горизонтальных полос одинаковой длины и ширины. Каждая полоса закрашена в белый, жёлтый, зелёный, красный, синий или чёрный цвета, причём соседние полосы обязательно разные по цвету. Какое наибольшее число команд с такими флагами могло приехать на турнир?
2. Ритуал начинается с того, что шаман кладёт 1 камень в первое блюдце, 2 во второе и 3 в третье. Затем он тратит минуту на размышление, после чего перекладывает какой-то камень из одного блюдца в другое, но так, чтобы в разных блюдцах было разное число камней. Затем он тратит на размышление следующую минуту и снова перекладывает какой-то камень и т.д. Все камни и блюдца отличаются друг от друга. Начиная со второго перекладывания, запрещается возвращаться к уже пройденным раскладам камней. Как долго может продолжаться этот шаманский ритуал?
3. Некоторый многоугольник удалось поместить внутрь квадрата, периметр которого в 7 раз меньше. Каково наименьшее число сторон такого многоугольника?
4. Пусть S(n) − суммa цифр числa n. Найдите наименьшее натуральное число n, которое делится на 2012−S(n).
5. Найдите хотя бы одну пару натуральных чисел А и В, для которой А^2−В^3=1000000.
6. Расставьте в клетках квадрата 8х8 различные натуральные числа так, чтобы сумма в каждой строке и в каждом столбце была равна 2012.

Задачи для 9 класса 12-ой олимпиады "Третье тысячелетие"

1. Выпуклый 20-гранник имеет 12 вершин. В каждой грани записали число её сторон. Чему может быть равна сумма всех 20 чисел?
2. Подберите подходящие 9 подряд идущих натуральных чисел и поставьте перед каждым из них знак + или − так, чтобы алгебраическая сумма оказалась равна 2012.
3. Некоторый многоугольник удалось поместить внутрь квадрата, периметр которого в 7 раз меньше. Каково наименьшее число сторон такого многоугольника?
4. Пусть S(n) − суммa цифр числa n. Найдите наименьшее натуральное число n, которое делится на 2012−S(n).
5. Найдите хотя бы одну пару натуральных чисел А и В, для которой А^3−В^2=2000000.
6. Расставьте в клетках квадрата 9х9 различные натуральные числа так, чтобы сумма в каждой строке и в каждом столбце была равна 2012.

Задачи для 10 класса 12-ой олимпиады "Третье тысячелетие"

1. Выпуклый 20-гранник имеет 12 вершин. В каждой грани записали число её сторон. Чему может быть равна сумма всех 20 чисел?
2. Расставьте знаки + или − перед выписанными по порядку числами 1, 2, 3, ... , N так, чтобы алгебраическая сумма оказалась равна 2012, а максимальное из использованных чисел N было бы как можно меньше.
3. Некоторый многоугольник удалось поместить внутрь квадрата, периметр которого в 7 раз меньше. Каково наименьшее число сторон такого многоугольника?
4. Лесной массив имеет форму квадрата 3х3км, разбитого просеками на 9 кварталов 1х1км. Центральный квартал занимает поляна, в самом центре которой находится дом грибника, а остальные 8 кварталов заняты лесом. Грибник заблудился в каком-то из этих 8 кварталов. Он хочет выбрать такой способ движения домой, чтобы в самом худшем для себя варианте потратить как можно меньше времени. У грибника есть компас, позволяющий ему двигаться по прямой в любом направлении. По лесу грибник идёт со скоростью 1км/час, по просекам − 2км/час, а по полянам (в том числе, вне леса) − 4км/час. Видимость в лесу практически нулевая: даже на просеке грибник не видит её концов (выходов на поляны). Дом виден с любой точки центральной поляны. Как должен двигаться грибник? Сколько времени займёт путь домой в худшем для него варианте?
5. Найдите хотя бы одну пару натуральных чисел А и В, для которой А3−В2=4000000.
6. Расставьте в клетках квадрата 10х10 различные натуральные числа так, чтобы сумма в каждой строке и в каждом столбце была равна 2012.

Задачи для 11-12 классов 12-ой олимпиады "Третье тысячелетие"

1. Выпуклый 20-гранник имеет 12 вершин. В каждой грани записали число её сторон. Чему может быть равна сумма всех 20 чисел?
2. Расставьте знаки + или − перед выписанными по порядку числами 1, 2, 3, ... , N так, чтобы алгебраическая сумма оказалась равна 2012, а максимальное из использованных чисел N было бы как можно меньше.
3. Ломаную линию удалось поместить внутрь куба, сумма длин рёбер которого в 2 раза меньше длины этой ломаной. Каково наименьшее число её звеньев?
4. Лесной массив имеет форму квадрата 3х3км, разбитого просеками на 9 кварталов 1х1км. Центральный квартал занимает поляна, в самом центре которой находится дом грибника, а остальные 8 кварталов заняты лесом. Грибник заблудился в каком-то из этих 8 кварталов. Он хочет выбрать такой способ движения домой, чтобы в самом худшем для себя варианте потратить как можно меньше времени. У грибника есть компас, позволяющий ему двигаться по прямой в любом направлении. По лесу грибник идёт со скоростью 1км/час, по просекам − 2км/час, а по полянам (в том числе, вне леса) − 4км/час. Видимость в лесу практически нулевая: даже на просеке грибник не видит её концов (выходов на поляны). Дом виден с любой точки центральной поляны. Как должен двигаться грибник? Сколько времени займёт путь домой в худшем для него варианте?
5. Найдите хотя бы одну пару натуральных чисел А и В, для которой А^3−В^2=20000000.
6. Расставьте в клетках квадрата 12х12 различные натуральные числа так, чтобы сумма в каждой строке и в каждом столбце была равна 2012.

Желающие могут попробовать решить задачи.
Подробности по проведению олимпиады в регионах можно посмотреть на сайте Федотова В.П. vphedotov.narod.ru/